Formula teorema di Stokes
Ciao, amici! Rompo le scatole qua per una questione di collegamento tra geometria ed analisi. Io conoscevo il teorema della divergenza di Gauss come -sotto le opportune ipotesi-\[\int_{X}\text{div}\boldsymbol{F}\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\int_{\partial X}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(u,v))·(\boldsymbol{r}_u(u,v)\wedge\boldsymbol{r}_v(u,v))\text{d}u\text{d}v \]dove \(\boldsymbol{r}\) sono equazioni parametriche della superficie.
Sul mio testo di geometria trovo l'espressione come (rinomino le funzioni coordinate di \(\boldsymbol{F}\) come $F_1$, $F_2$ e $F_3$ per rendere le formule più identificabili) \[\int_{X}\text{div}\boldsymbol{F}\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z=\int_{\partial X}F_1(x,y,z)\text{d}y\wedge\text{d}z+F_2(x,y,z)\text{d}z\wedge\text{d}x+F_3(x,y,z)\text{d}x\wedge\text{d}y\]Ho un'ipotesi sull'uguaglianza dei due integrandi a secondo membro che mi piacerebbe esporre per conferme o smentite ai lettori del forum...
So che, dato un diffeomorfismo $f:U\to V$ con \(U,V\subset\mathbb{R}^{n}\), chiamata \(f^{\ast}\omega\) la $n$-forma immagine inversa in $U$ di una $n$-forma differenziale $\omega$, si ha che \(f^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=\det(J_f)\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) dove \(\det(J_f)\) è lo jacobiano di $f$. È corretta la tesi se si indeboliscono le ipotesi considerando un morfismo $f$? A me sembra che si potrebbe dimostrare analogamente, considerando sempre lo jacobiano, cioè il determinante della matrice che esprime il differenziale di $f$, indipendentemente dalla biiettività di $f$...
Se fosse possibile indebolire tali ipotesi, considerando il morfismo \(\boldsymbol{r}(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)\) di volta in volta con domini bidimensionali a coordinate correnti diverse, direi che si otterrebbero le seguenti uguaglianze, da cui seguirebbe l'uguaglianza degli integrandi di cui sopra\[\text{d}x\wedge\text{d}y=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\y_u & y_v\end{vmatrix}\text{d}u\wedge\text{d}v\]\[\text{d}z\wedge\text{d}x=-\text{d}x\wedge\text{d}z=-\begin{vmatrix}x_u & x_v\\z_u & z_v\end{vmatrix}\text{d}u\wedge\text{d}v\]\[\text{d}y\wedge\text{d}z=\begin{vmatrix}y_u & y_v\\z_u & z_v\end{vmatrix}\text{d}u\wedge\text{d}v\]Dove le sbarrette indicano il determinante della matrice che ha per coefficienti derivate parziali delle funzioni coordinate di \(\boldsymbol{r}\): si noti che i tre determinanti, moltiplicato il secondo per -1, non sono altro che le componenti scalari del \(\boldsymbol{r}_u\wedge\boldsymbol{r}_v\) che compare nell'integrando a secondo membro.
Do i numeri?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
EDIT: Corretti due pedici grazie all'osservazione di j18eos.
Sul mio testo di geometria trovo l'espressione come (rinomino le funzioni coordinate di \(\boldsymbol{F}\) come $F_1$, $F_2$ e $F_3$ per rendere le formule più identificabili) \[\int_{X}\text{div}\boldsymbol{F}\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z=\int_{\partial X}F_1(x,y,z)\text{d}y\wedge\text{d}z+F_2(x,y,z)\text{d}z\wedge\text{d}x+F_3(x,y,z)\text{d}x\wedge\text{d}y\]Ho un'ipotesi sull'uguaglianza dei due integrandi a secondo membro che mi piacerebbe esporre per conferme o smentite ai lettori del forum...
So che, dato un diffeomorfismo $f:U\to V$ con \(U,V\subset\mathbb{R}^{n}\), chiamata \(f^{\ast}\omega\) la $n$-forma immagine inversa in $U$ di una $n$-forma differenziale $\omega$, si ha che \(f^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=\det(J_f)\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) dove \(\det(J_f)\) è lo jacobiano di $f$. È corretta la tesi se si indeboliscono le ipotesi considerando un morfismo $f$? A me sembra che si potrebbe dimostrare analogamente, considerando sempre lo jacobiano, cioè il determinante della matrice che esprime il differenziale di $f$, indipendentemente dalla biiettività di $f$...
Se fosse possibile indebolire tali ipotesi, considerando il morfismo \(\boldsymbol{r}(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)\) di volta in volta con domini bidimensionali a coordinate correnti diverse, direi che si otterrebbero le seguenti uguaglianze, da cui seguirebbe l'uguaglianza degli integrandi di cui sopra\[\text{d}x\wedge\text{d}y=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\y_u & y_v\end{vmatrix}\text{d}u\wedge\text{d}v\]\[\text{d}z\wedge\text{d}x=-\text{d}x\wedge\text{d}z=-\begin{vmatrix}x_u & x_v\\z_u & z_v\end{vmatrix}\text{d}u\wedge\text{d}v\]\[\text{d}y\wedge\text{d}z=\begin{vmatrix}y_u & y_v\\z_u & z_v\end{vmatrix}\text{d}u\wedge\text{d}v\]Dove le sbarrette indicano il determinante della matrice che ha per coefficienti derivate parziali delle funzioni coordinate di \(\boldsymbol{r}\): si noti che i tre determinanti, moltiplicato il secondo per -1, non sono altro che le componenti scalari del \(\boldsymbol{r}_u\wedge\boldsymbol{r}_v\) che compare nell'integrando a secondo membro.
Do i numeri?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
EDIT: Corretti due pedici grazie all'osservazione di j18eos.
Risposte
Il Prof. Spivak sembrerebbe darmi ragione in Calculus on Manifolds, teorema 4-9...
CIa0 Davide,
A presto,
Armando
P.S.: Calculus on manifolds fu scritto da Spivak proprio per rendere comprensibile il teorema di Stokes sia in analisi matematica che in geometria differenziale.
"DavideGenova":non mi tornano i pedici ai lati;
...\[\int_{X}\text{div}\boldsymbol{F}\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z=\int_{\partial X}F_1(x,y,z)\text{d}x\wedge\text{d}y+F_2(x,y,z)\text{d}z\wedge\text{d}x+F_3(x,y,z)\text{d}y\wedge\text{d}z\]...
"DavideGenova":ma chiamala forma pull-back di \(\omega\) mediante \(f\), "immagine inversa" è un epìteto che trovo orrendo in questo contesto;
...chiamata \(f^{\ast}\omega\) la $n$-forma immagine inversa in $U$ di una $n$-forma differenziale $\omega$...
"DavideGenova":se per morfismo intendi un'applicazione differenziabile la risposta è sì!
...un morfismo $f$?...
A presto,
Armando
P.S.: Calculus on manifolds fu scritto da Spivak proprio per rendere comprensibile il teorema di Stokes sia in analisi matematica che in geometria differenziale.
Grazie di cuore per la conferma e per l'osservazione sui pedici!!! Avevo invertito 1 e 3.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo