Formula di Grassmann affine

[dissonance]

cito dal pdf di M.Cailotto http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ78pp.pdf , pagina 144 (148 secondo la numerazione del pdf):

se $L$ e $L'$ sono due sottospazi affini di $A$, posto $L\veeL'$ il più piccolo sottospazio affine contenente $L$ ed $L'$, risulta che:
$"dim"(L\veeL')+"dim"(LnnL')<="dim"(L)+"dim"(L')$.

Ma secondo me la disuguaglianza corretta è quella inversa. [edit] tolte un po' di formule inutili.[/edit]
Che ne dite?

[dissonance]

No, la disuguaglianza è quella giusta. Non è detto che ci sia l'uguaglianza perché l'intersezione delle varietà affini $LnnL'$ non tiene conto dei punti impropri, e quindi la sua dimensione potrebbe essere più piccola del dovuto. Mi sono sbagliato

[NightKnight1]

Non vorrei dire castronerie, ma credo che se $L nn L' = \emptyset$ si debba porre $dim L nn L' = -1$ per far tornare la formula; e forse con questa convenzione vale sempre l'uguaglianza.

[dissonance]

E no, anzi credo che sia proprio questo uno dei motivi per cui si introduce la geometria proiettiva. Ad esempio, consideriamo due rette $L, L'$ parallele e disgiunte in un piano affine. E' chiaro che la congiungente (quella che sopra ho chiamato $LveeL'$) sarà tutto il piano, quindi avrà dimensione 2; ma del resto le due rette non si intersecano e quindi $"dim"LnnL'=-1$. Perciò:
$"dim"L\veeL'+"dim"LnnL'=2-1<"dim"L+"dim"L'=2$, non vale l'uguaglianza.

Il motivo sta nel fatto che le due rette in realtà si intersecano, e la dimensione dell'intersezione è 0 (un solo punto); il guaio è che questo punto è improprio e perciò non riusciamo a vederlo nell'ambito dello spazio affine.