Formula di Grassman `on steroids`

[giuscri]

Mi pare che con Formula di Grassman tipicamente ci si riferisca a

Sia \(V\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale. Siano \(U,\,W\) due suoi sottospazi vettoriali. Si dimostra che vale
\[\dim{U} + \dim{W} = \dim{(U + W)} + \dim{(U \cap W)}\]

Stamattina mi e' capitato di voler far uso di una formula chiaramente ispirata a quella di Grassman, ma di cui non ho trovato traccia. La situazione e' la seguente:

Sia \(V\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale. Sia \(\{W_i\}_{i=1}^{m}\) una famiglia di sottospazi di \(V\). Forse vale
\[\sum_{i=1}^m \dim{W_i} = \dim{ \bigcup_{i=1}^m \Big( W_i \cap \sum_{\substack{j = 1 \\ j \neq i}}^m W_j \Big) } + \dim{\sum_{i=1}^m W_i} \tag{\(\clubsuit\)}\]

Dimostrazione: sia \(\varphi\) un'applicazione lineare \[\varphi : \times_{i=1}^m W_i \to \sum_{i=1}^m W_i\]
Per il teorema rango-nullita' dev'essere
\[\dim{ \times_{i=1}^m W_i } = \sum_{i=1}^m \dim{W_i} =
\dim{ \ker{\varphi} } + \dim{ \operatorname{Im}{\varphi} } =
\dim{ \ker{\varphi} } + \dim{ \sum_{i=1}^m W_i }\]

Ora:
\[\ker{\varphi} = \{(\underline{w}_1, \ldots{}, \underline{w}_m)\,:\,
\underline{w}_1 + \ldots{} + \underline{w}_m = \underline{0}_V\}\]
\[\Rightarrow \ker{\varphi} = \{(\underline{w}_1, \ldots{}, \underline{w}_m)\,:\,\underline{w}_i =
- \sum_{\substack{j = 1 \\ j \neq i}}^m \underline{w}_j\, , \; \forall{i} = 1, \ldots{}, m\}\]

Ma come traduco questo risultato sul \(\ker\) nella pseudo-formula di Grassman? Forse dicendo che
\[\dim{ \bigcup_{i=1}^m \Big( W_i \cap \sum_{\substack{j = 1 \\ j \neq i}}^m W_j \Big) } \equiv \dim{\ker{\varphi}}\]
da cui \((\clubsuit)\)?

In tal caso:

Corollario (scemo): se \(V = \bigoplus_{i=1}^m W_i\), allora:
\[\dim{V} \equiv \sum_{i=1}^m \dim{W_i}\]

Dimostrazione: ovvio, via
\[W_i \cap \sum_{\substack{j = 1 \\ j \neq i}}^m W_j = \{\underline{0}_V\} \qquad \forall{i} = 1, \ldots{}, m\]
\[\Rightarrow \dim{ \bigcup_{i=1}^m \Big( W_i \cap \sum_{\substack{j = 1 \\ j \neq i}}^m W_j \Big) } = 0\]

Ringrazio!

[j18eos]

La formula è indubbiamente errata, perché l'unione di spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale; salvo i casi banali in cui tutti gli spazi vettoriali siano inclusi in uno degli spazi vettoriali di cui si sta facendo l'unione.

Se proprio vuoi generalizzare la relazione di Grassmann a una famiglia finita di spazi vettoriali, utilizza il principio d'induzione!

[giuscri]

"j18eos":La formula è indubbiamente errata, perché l'unione di spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale; salvo i casi banali in cui tutti gli spazi vettoriali siano inclusi in uno degli spazi vettoriali di cui si sta facendo l'unione.
Se proprio vuoi generalizzare la relazione di Grassmann a una famiglia finita di spazi vettoriali, utilizza il principio d'induzione!

Ci riprovo, ok. Ad ogni modo, non trovi che se
\[\forall i = 1, \ldots{}, m \,:\, W_i \cap \sum_{\substack{j = 1 \\ j \neq i}}^m W_j = \{\underline{0}_V\}\]
allora
\[ \sum_{i=1}^m \dim{W_i} = \dim{\sum_{i=1}^m W_i}\]
?

[j18eos]

Eh certo... lo si dimostra mendiante la definizione di somma diretta di spazi vettoriali!

[giuscri]

"j18eos":Eh certo... lo si dimostra mendiante la definizione di somma diretta di spazi vettoriali!

Se riuscissi a verificare che l'unione di tutte le basi dei \(W_i\) faccia da base per \(\bigoplus W_i\) avrei dimostrato il fatto, vero?

In tal caso, ci provo: si vuole verificare che
\[\dim{\bigoplus_{i=1}^m W_i} = \sum_{i=1}^m \dim{W_i}\]

Si prenda un \(v \in \bigoplus W_i\): allora si ha
\[v = w_1 + \ldots{} + w_m \qquad w_i \in W_i\]
Ma allora dev'essere che le basi dei \(W_i\) generino, unite, \(\bigoplus W_i\).

Dunque:
\[\operatorname{Span}{\bigcup_{i=1}^m \{ w_{ij} \}_j} = \bigoplus W_i\]
Rimane da dimostrare che
\[\bigcup_{i=1}^m \{ w_{ij} \}_j\]
sia libero.

Sia \(w_{jk}\) il generico elemento \(j\)-esimo di una base di \(W_k\). E supponiamo per assurdo che
\[w_{jk} \in \operatorname{Span} \bigcup_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^m \{ w_{ij} \}_j
\equiv \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^m W_i\]

Via definizione di somma diretta
\[w_{jk} \ni W_k \cap \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^m W_i = \{0_V\}\]
\[\Rightarrow w_{jk} = 0_V \tag{\(\bot\)}\]
assurdo.

Dunque
\[\bigcup_{i=1}^m \{ w_{ij} \}_j\]
e' un set libero, e genera \(\bigoplus W_i\).
Da cui la tesi
\[ \dim \sum_{i=1}^m W_i \equiv \left| \bigcup_{i=1}^m \{ w_{ij} \}_j \right| \equiv
\dim \bigoplus_{i=1}^m W_i \tag{\(\blacksquare\)}\]
con \(|S|\) cardinalita' dell'insieme \(S\).