Formula di grassman

[Agny19]

Siano W e U due sottospazi distinti di R4 tali che dim W = 3 e dim U = 2. Che
dimensione possono avere rispettivamente lo spazio intersezione W nn U e lo spazio somma
W + U? Perch´e?

qlcn mi potrebbe spiegare il perchè?? grz

[Sk_Anonymous]

Come hai detto nel titolo, basta applicare la formula di Grassmann

$dim(W)+dim(U) = dim(U+W) + dim(U \cap W)$

nel tuo caso

$5 = dim(U+W) + dim(U \cap W)$

Le possibili combinazioni sono quindi

(4,1)
(3,2)
(2,3)
(1,4)

[Studente Anonimo]

@raffamaiden: (correggo) due sole di quelle quattro combinazioni sono possibili

[Agny19]

mmmmmmm mi potreste spiegare meglio grazie

[Sk_Anonymous]

"Martino":@raffamaiden: (correggo) due sole di quelle quattro combinazioni sono possibili

Somma e intersezione non possono essere sottospazi impropri di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]?

[Sk_Anonymous]

Continuo a non capire perchè solo due di quelle combinazioni sono possibili.....

[Agny19]

"raffamaiden":Continuo a non capire perchè solo due di quelle combinazioni sono possibili.....

figuriamoci io .-.

[Studente Anonimo]

Beh, perché [tex]U \cap W \subseteq U + W[/tex] e quindi [tex]\dim(U \cap W) \leq \dim(U+W)[/tex].

[Sk_Anonymous]

Non ci avevo pensato a questa relazione (nè la conoscevo). Grazie. Quindi sono possibili solo le combinazioni (4,1) e (3,2) giusto?

[vict85]

"raffamaiden":Non ci avevo pensato a questa relazione (nè la conoscevo). Grazie. Quindi sono possibili solo le combinazioni (4,1) e (3,2) giusto?

Diciamo che non ci avevi pensato...

Non dirmi che non sapevi che $U cap W subseteq U subseteq U+W$ e che quindi $dim(U cap W) le dim(U) le dim(U+W)$. Basta applicare le definizioni di intersezione e somma.

P.S: Si può fare similmente con $W$ al posto di $U$

[Sk_Anonymous]

"vict85":
Diciamo che non ci avevi pensato...

Se vuoi ti dò le credenziali di accesso e scrivi tu a nome mio

Non dirmi che non sapevi che [ripetizione pari-pari della formula postata da Martino]

No, non lo sapevo. Se proprio sei interessato, ho studiato dal mio testo la dimostrazione che somma e intersezione sono sottospazi, ma non ero arrivato ad "elaborare" la relazione postata da Martino. In parte "colpa" anche del mio testo, che non la riporta (del quale mi sono sempre lamentato, non potendo studiare da un altro).

P.S. Lo scopo di questo tuo messaggio qual'era? Perchè io non l'ho capito. Aggiungere il fatto che l'intersezione è anche un sottoinsieme dell'insieme di partenza?

[vict85]

Semplicemente non mi sembrava una formula che necessitasse di essere imparata, evidentemente mi sbagliato. Io ne stavo dando una giustificazione.

Vediamo di essere più prolissi:

1) Se un sottospazio è contenuto in un altro allora la sua dimensione è minore o uguale al sottospazio più grande. $U subseteq W rArr dim (U) le dim( W)$

Dimostrazione: Basta prendere una base di $U$ allora essa deve essere un insieme di vettori linearmente indipendenti anche in $W$ e quindi la dimensione di $W$ deve essere almeno quella di $U$.

Ora l'intersezione di due sottospazi è contenuta in entrambi gli insiemi per definizione.

La somma di due sottospazi contiene entrambi i due sottospazi perché zero è contenuto in entrambi e quindi anche $u = u +0$ e $w = 0+w$ per ogni $u in U$ e $w in W$. Il resto è una conseguenza diretta di questi ragionamenti. Ovviamente si dovrebbe anche aggiungere che la somma dei due autospazi è un sottospazio contenuto nello spazio vettoriale di partenza.

La cosa si può notare anche dalla dimostrazione della formula di Grassman che usa le basi.

[Agny19]

ehm....grz x l'interessamento ma ho già dato l'esame ieri ihih quindi a me nn serve piu U_U