Formula del trapezio
Ciao, sto cercando d imparare il calcolo numerico degli integrali e sono appena arrivato alla formula del trapezio. Le mie dispense riportano quanto segue:
"La formula del trapezio si ottiene sostituendo ad f(x) il polinomio interpolatore di lagrange relativo ai due nodi $x_0=a$ e $x_1=b$ e ai valori $f(a)$e $f(b)$
$p_1(x)=(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)$
quindi
$int_{a}^{b}f(x)dx~int_{a}^{b}p_1(x)dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]$.
Lo so che probabilmente e banale ma nell immediato nn capisco come si ottiene $(b-a)/2[f(a)+f(b)]$, qualcuno puo farmelo vedere o spiegare?
io proverei cosi:
$int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)dx=int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)dx+int_{a}^{b}(x-a)/(b-a)f(b)dx$
grazie mille
ciao
"La formula del trapezio si ottiene sostituendo ad f(x) il polinomio interpolatore di lagrange relativo ai due nodi $x_0=a$ e $x_1=b$ e ai valori $f(a)$e $f(b)$
$p_1(x)=(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)$
quindi
$int_{a}^{b}f(x)dx~int_{a}^{b}p_1(x)dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]$.
Lo so che probabilmente e banale ma nell immediato nn capisco come si ottiene $(b-a)/2[f(a)+f(b)]$, qualcuno puo farmelo vedere o spiegare?
io proverei cosi:
$int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)dx=int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)dx+int_{a}^{b}(x-a)/(b-a)f(b)dx$
grazie mille
ciao
Risposte
Mai sentito parlare di [(base maggiore + base minore)*altezza]/2?
si e vero cavoli...!grazie..
pero se voglio calcolare proprio l integrale va bene come impostazione quello che ho scritto sopra?
pero se voglio calcolare proprio l integrale va bene come impostazione quello che ho scritto sopra?
Per il calcolo vero e proprio bisogna usare la formula dei trapezi:
$int_a^b f(x)dx ~= h/2 (f(x_1)+2f(x_2)+ldots+2f(x_(n-1))+f(x_n))$, dove $h=x_(i+1)-x_i$ e $[a,b]=sum_(k=1)^n (x_(k+1)-x_k)$.
$int_a^b f(x)dx ~= h/2 (f(x_1)+2f(x_2)+ldots+2f(x_(n-1))+f(x_n))$, dove $h=x_(i+1)-x_i$ e $[a,b]=sum_(k=1)^n (x_(k+1)-x_k)$.
ma per calcolare questo $int_{a}^{b}p_1(x)dx$ devo usare la formula dei trapezi? dove $p_1(x)=(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)$?
No, per calcolare quello calcoli l'integrale vero e proprio: $int_a^b p_1(x)dx=int_a^b [(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)]dx=[(x^2(f(a)-f(b)))/(2(a-b))+(x(af(b)-bf(a)))/(a-b)]_a^b=(b-a)/2 (f(a)+f(g))$, che è quello che si poteva dimostrare anche con la nota formula [(base maggiore + base minore)*altezza]/2. In questo caso il libro si è complicato un pò la vita andando a integrare il polinomio interpolatore di Lagrange.
ancora grazie..nn ho capito cos e il grado di precisione e come fare ad individuarlo per esempio nella formula del trapezio. Secondo le mie dispense il grado di prcisione della formula del trapezio 1, s=1, da dove lo vedo?
"elgiovo":
In questo caso il libro si è complicato un pò la vita andando a integrare il polinomio interpolatore di Lagrange.
visto in una prospettiva più ampia, una idea generale per l'integrazione approssimata è quella di sostituira alla funzione integranda un'altra funzione che la approssimi ed integrare quest'ultima. Quindi, se è vero che non c'è bisogno di evocare Lagrange per una cosa banale come la formula dei trapezi, il libro immagino volesse sottolineare che una procedura generale consiste nell'usare i polinomi interpolatori come funzioni approssimanti e il metodo dei trapezi (la formula "semplice") rientra in questo caso
nella formula composta dei trapezi $I_(2,N)(f)=h/2sum_{i=0}^{N-1}[f(x_i)+f(x_(i+1))]=I_(2,N)$ cosa vuol dire il 2 a pedice $I_(2,N)$? e perche ogni termine della somma viene contato due volte tranne il primo e l ultimo?
"richard84":
nella formula composta dei trapezi $I_(2,N)(f)=h/2sum_{i=0}^{N-1}[f(x_i)+f(x_(i+1))]=I_(2,N)$ cosa vuol dire il 2 a pedice $I_(2,N)$? e perche ogni termine della somma viene contato due volte tranne il primo e l ultimo?
attento che tiro a indovinare, quindi non prendere la roba per buona
2 potrebbe riferirsi al fatto che la regola "semplice" dei trapezi usa interpolazione su 2 punti
N perché l'intervallo è diviso in N sottointervalli, su ciascuno dei quali si applica la formula sempice dei trapezi
2 volte tranne primo e ultimo? fai un disegno e costruisciti tu la figura (poligonale) approssimante: vedrai che ti ritrovi a usare 2 volte tutti i punti tranne il primo e l'ultimo
spero di aver indovinato
si l idea di fare il disegno mi e venuta pero nn sono riuscito lo stesso a capire perche nn so bene come farlo...io ho provato a disegnare una funzione che in b assume un valore minore di a, poi ho disegnato un trapezio e infine ho cercato di dividre in qualche modo in altri sotto intervalli l area del trapezio ma capisco che e sbagliato perche nn vedo come mai i valori dei sottointervalli devo usarli due volte
sempre a proposito di tale metodo mi sfugge anche quanto vien detto a proposito dell errore di quadratura, che le dispense dicono essere: $sum_{i=0}^{N-1}[-1/12h^3f^('')(epsilon_i)]=-1/12h^3 sum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)$ e per il teorema della media $1/Nsum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)=f^('')(epsilon^(*))$ come si applica in questo caso il teorema della media?
Sto cercando di studiare da solo queste cose che nn ho mai visto quindi faccio piu fatica a capire e per questo che chiedo aiuto...
sempre a proposito di tale metodo mi sfugge anche quanto vien detto a proposito dell errore di quadratura, che le dispense dicono essere: $sum_{i=0}^{N-1}[-1/12h^3f^('')(epsilon_i)]=-1/12h^3 sum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)$ e per il teorema della media $1/Nsum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)=f^('')(epsilon^(*))$ come si applica in questo caso il teorema della media?
Sto cercando di studiare da solo queste cose che nn ho mai visto quindi faccio piu fatica a capire e per questo che chiedo aiuto...
"richard84":
si l idea di fare il disegno mi e venuta pero nn sono riuscito lo stesso a capire perche nn so bene come farlo...io ho provato a disegnare una funzione che in b assume un valore minore di a, poi ho disegnato un trapezio e infine ho cercato di dividre in qualche modo in altri sotto intervalli l area del trapezio ma capisco che e sbagliato perche nn vedo come mai i valori dei sottointervalli devo usarli due volte
prendi f definita su [a,b]
dividi [a,b] in 2 parti
applica la formula "semplice" dei trapezi su [a, (a+b)/2] e su [(a+b)/2,b]
dovresti "vedere" che, se sommi le aree dei 2 trapezi, il valore f((a+b)/2) compare due volte
vorrebbe dire far questo:
$((a+b)/2-a)((f(a)+f((a+b)/2)))/2+((b-(a+b)/2)(f(b)+f((a+b)/2)))/2$?
$((a+b)/2-a)((f(a)+f((a+b)/2)))/2+((b-(a+b)/2)(f(b)+f((a+b)/2)))/2$?
sì, intendo questa formula
e
$h = (a+b)/2-a = b-(a+b)/2$
e
$h = (a+b)/2-a = b-(a+b)/2$
si ok forse ci sono...
il passo successivo e capire com il teorema della media si applica a $sum_{i=0}^{N-1}[-1/12h^3f^('')(epsilon_i)]=-1/12h^3 sum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)$
il passo successivo e capire com il teorema della media si applica a $sum_{i=0}^{N-1}[-1/12h^3f^('')(epsilon_i)]=-1/12h^3 sum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)$
che problema hai ad applicare il th della media? è quello che hai scritto te prima
$sum_{i=0}^{N-1}[-1/12h^3f^('')(epsilon_i)]=-1/12h^3 sum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)$
nn capisco come mai diventi $-1/12h^3 Nf^('')(epsilon^*)$...il teorema della media nn dice $(int_{a}^{b}(f(x)))/(b-a)=u^{-}$?
nn capisco come mai diventi $-1/12h^3 Nf^('')(epsilon^*)$...il teorema della media nn dice $(int_{a}^{b}(f(x)))/(b-a)=u^{-}$?
Teorema (della media):
data una funzione $g(x)inC^0[a,b]$ e dei coefficienti di segno costante $a_k$ allora esiste un $etain[a,b]$ tale per cui, $AA x_k in [a,b]$, si ha
$sum_(k=0)^(m-1) a_kg(x_k)=g(eta)sum_(k=0)^(m-1) a_k$
E' questo il teorema della media di cui devi far uso, non quello omonimo del calcolo integrale
data una funzione $g(x)inC^0[a,b]$ e dei coefficienti di segno costante $a_k$ allora esiste un $etain[a,b]$ tale per cui, $AA x_k in [a,b]$, si ha
$sum_(k=0)^(m-1) a_kg(x_k)=g(eta)sum_(k=0)^(m-1) a_k$
E' questo il teorema della media di cui devi far uso, non quello omonimo del calcolo integrale
"richard84":
$sum_{i=0}^{N-1}[-1/12h^3f^('')(epsilon_i)]=-1/12h^3 sum_{i=0}^{N-1}f^('')(epsilon_i)$
nn capisco come mai diventi $-1/12h^3 Nf^('')(epsilon^*)$...il teorema della media nn dice $(int_{a}^{b}(f(x)))/(b-a)=u^{-}$?
ma allora riporto un altro punto delle mie dispense a proposito della formula del trapezio:
"$int_{a}^{b}f(x)dx-int_{a}^{b}p_1(x)dx=int_{a}^{b}((x-a)(x-b))/2f^('')(epsilon(x))dx$ poiche $(x-a)(x-b)$ nn cambia segno in $[a,b]$ per il teorema della media del calcolo integrale esiste un valore $epsilon^m$appartenente a $[a,b]$ (m=medio) tale che:
$e_2(f)=1/2f^('')(epsilon^m)int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx$
allora nn e il teorema del calcolo integrale com e scritto?
in questo caso il th della media è quello del calcolo integrale; fai sempre attenzione al contesto in cui ti stai muovendo: è un caso diverso rispetto a prima
ok allora ora devo cercare di capire tuttie due i casi...in quest ultimo caso com e stato applicato?e l altro teorema a un nome?
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