Formula del trapezio
Ciao, sto cercando d imparare il calcolo numerico degli integrali e sono appena arrivato alla formula del trapezio. Le mie dispense riportano quanto segue:
"La formula del trapezio si ottiene sostituendo ad f(x) il polinomio interpolatore di lagrange relativo ai due nodi $x_0=a$ e $x_1=b$ e ai valori $f(a)$e $f(b)$
$p_1(x)=(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)$
quindi
$int_{a}^{b}f(x)dx~int_{a}^{b}p_1(x)dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]$.
Lo so che probabilmente e banale ma nell immediato nn capisco come si ottiene $(b-a)/2[f(a)+f(b)]$, qualcuno puo farmelo vedere o spiegare?
io proverei cosi:
$int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)dx=int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)dx+int_{a}^{b}(x-a)/(b-a)f(b)dx$
grazie mille
ciao
"La formula del trapezio si ottiene sostituendo ad f(x) il polinomio interpolatore di lagrange relativo ai due nodi $x_0=a$ e $x_1=b$ e ai valori $f(a)$e $f(b)$
$p_1(x)=(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)$
quindi
$int_{a}^{b}f(x)dx~int_{a}^{b}p_1(x)dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]$.
Lo so che probabilmente e banale ma nell immediato nn capisco come si ottiene $(b-a)/2[f(a)+f(b)]$, qualcuno puo farmelo vedere o spiegare?
io proverei cosi:
$int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)+(x-a)/(b-a)f(b)dx=int_{a}^{b}(x-b)/(a-b)f(a)dx+int_{a}^{b}(x-a)/(b-a)f(b)dx$
grazie mille
ciao
Risposte
sempre nel solito modo: $int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$ con $f(x)inC^0[a,b]$ e $cin[a,b]$
scusa ma nn ci arrivo...
forse è meglio usare quest'altra formulazione:
se $f,g in C^0[a,b]$ e g(x) è di segno costante in [a,b], allora $int_a^b f(x)g(x)dx=f(c)int_a^bg(x)dx$ con $cin[a,b]$
in pratica è una media pesata...
se $f,g in C^0[a,b]$ e g(x) è di segno costante in [a,b], allora $int_a^b f(x)g(x)dx=f(c)int_a^bg(x)dx$ con $cin[a,b]$
in pratica è una media pesata...
no ok...ho capito come l applicato ma stavo pensando graficamente...
ancora qualche domanda
1) Teorema (della media):
data una funzione $g(x)inC^0[a,b]$ e dei coefficienti di segno costante $a_k$ allora esiste un $etain[a,b]$ tale per cui, $AA x_k in [a,b]$, si ha
$sum_(k=0)^(m-1) a_kg(x_k)=g(eta)sum_(k=0)^(m-1) a_k$
perche le mie dispense questo teorema lo fanno vedere cosi:
$1/Nsum_(k=0)^(N-1) f^('')(epsilon_i)=f^('')(epsilon^m)$e la stessa cosa?l ultima che ho riportato mi sembra una normale media aritmetica
2) E il grado di precisione come lo determino?
3)Nella formula di Simpson-Cavalieri come faccio per esempio a a calcolare l integrale relativo ad un peso?per es $W_0=int_{a}^{b}L_0(x)dx=(b-a)/d=h/3$?? io ho provato a svolgere il seguente $int_{a}^{b}((x-(a+b)/2)(x-b))/((a-(a+b)/2)(a-b))dx$ ma nn ho ottenuto lo stesso risultato..
1) Teorema (della media):
data una funzione $g(x)inC^0[a,b]$ e dei coefficienti di segno costante $a_k$ allora esiste un $etain[a,b]$ tale per cui, $AA x_k in [a,b]$, si ha
$sum_(k=0)^(m-1) a_kg(x_k)=g(eta)sum_(k=0)^(m-1) a_k$
perche le mie dispense questo teorema lo fanno vedere cosi:
$1/Nsum_(k=0)^(N-1) f^('')(epsilon_i)=f^('')(epsilon^m)$e la stessa cosa?l ultima che ho riportato mi sembra una normale media aritmetica
2) E il grado di precisione come lo determino?
3)Nella formula di Simpson-Cavalieri come faccio per esempio a a calcolare l integrale relativo ad un peso?per es $W_0=int_{a}^{b}L_0(x)dx=(b-a)/d=h/3$?? io ho provato a svolgere il seguente $int_{a}^{b}((x-(a+b)/2)(x-b))/((a-(a+b)/2)(a-b))dx$ ma nn ho ottenuto lo stesso risultato..
1) il teorema che ti ho postato io, e che hai riportato, è l'analogo del teorema della media ponderata per il calcolo integrale. Puoi usare quello che ti ho postato, che secondo me è più comodo.
2) cosa intendi con grado di precisione?
3) Per ricavare Simpson-Cavalieri puoi procedere così: vuoi trovare una formula di quadratura $Q_3(f)=A_0f(x_0)+A_1f(x_1)+A_2f(x_2)$ nell'intervallo $[-h,h]$, sui nodi ${x_0=-h,x_1=0,x_2=h}$. Per ricavare i coefficienti ${A_i}$ devi impostare e risolvere il sistema:
${(int_(-h)^h 1dx=2h=A_0+A_1+A_2),(int_(-h)^h xdx=0=-A_0h+A_2h),(int_(-h)^h x^2dx=2/3h^3=A_0h^2+A_2h^2):}$
2) cosa intendi con grado di precisione?
3) Per ricavare Simpson-Cavalieri puoi procedere così: vuoi trovare una formula di quadratura $Q_3(f)=A_0f(x_0)+A_1f(x_1)+A_2f(x_2)$ nell'intervallo $[-h,h]$, sui nodi ${x_0=-h,x_1=0,x_2=h}$. Per ricavare i coefficienti ${A_i}$ devi impostare e risolvere il sistema:
${(int_(-h)^h 1dx=2h=A_0+A_1+A_2),(int_(-h)^h xdx=0=-A_0h+A_2h),(int_(-h)^h x^2dx=2/3h^3=A_0h^2+A_2h^2):}$
2) le mie dispense dicono che la formula di Simpson a grado di precisione s=3 e anche per altri metodi riporta che il grado di precisione e un certo s ma nn capisco bene come determinarlo..
3) Forse ho posto male la domanda o forse e la stessa cosa...provo a rifare la domanda...le mie dispense riportano:
$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{b}p_2(x)dx=int_{a}^{b}[L_0(x)f(a)+L_1(x)f((a+b)/2)+L_2(x)f(b)]dx$ poi dice:
i pesi risultano
$W_0=int_{a}^{b}L_0(x)dx=(b-a)/6=h/3$ con $h=(b-a)/2$ io nn capisco come calcolare quest ultimo integrale e arrivare alla soluzione $h/3$...seguo il procedimento che mi hai suggerito?
3) Forse ho posto male la domanda o forse e la stessa cosa...provo a rifare la domanda...le mie dispense riportano:
$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{b}p_2(x)dx=int_{a}^{b}[L_0(x)f(a)+L_1(x)f((a+b)/2)+L_2(x)f(b)]dx$ poi dice:
i pesi risultano
$W_0=int_{a}^{b}L_0(x)dx=(b-a)/6=h/3$ con $h=(b-a)/2$ io nn capisco come calcolare quest ultimo integrale e arrivare alla soluzione $h/3$...seguo il procedimento che mi hai suggerito?
2) bisognerebbe avere una definizione non ambigua di grado di precisione..
3) prova a fare come ti ho detto io e guarda se ti ci trovi
3) prova a fare come ti ho detto io e guarda se ti ci trovi
"luca.barletta":
${(int_(-h)^h 1dx=2h=A_0+A_1+A_2),(int_(-h)^h xdx=0=-A_0h+A_2h),(int_(-h)^h x^2dx=2/3h^3=A_0h^2+A_2h^2):}$
1) nn capisco questo tipo di eguaglianze $2h=A_0+A_1+A_2$....nn capisco come s imposta questo sistema
Il sistema l ho risolto e mi viene come dovrebbe venire $A_0=A_2=1/3h$ e $A_1=4/3h$
2) e se volessi arrivarci come ci arrivano le mie dispende come dovrei fare? ovvero da qua $int_{a}^{b}L_0(x)dx$
se nn sbaglio dovrebbe essere molto simile
Io ho usato i monomi $B={1,x,x^2}$, nulla vieta di utilizzare i polinomi di Lagrange. Bisogna imporre che le quadrature siano perfette fino al secondo grado (per Cavalieri-Simpson) quindi calcolo l'integrale di ogni elemento di B, $b_i$, e lo pongo uguale alla formula di quadratura $Q(b_i).$ Ad esempio per $b_2=x^2$ trovo:
$Q(x^2)=A_0*(-h)^2+A_1*0^2+A_2*h^2$
$Q(x^2)=A_0*(-h)^2+A_1*0^2+A_2*h^2$
nn ho ancora ben capito come fare le uguaglianze. Per es calcolo l integrale $int_(-h)^h 1dx=2h=A_0+A_1+A_2$ come faccio ad uguagliare 2h alla somma che hai riportato?Oppure come mai $Q(x^2)=A_0*(-h)^2+A_1*0^2+A_2*h^2$ $A_1$ e moltipilicato a 0 e $A_0$ a -h al qudrato?
Io ho capito che al $A_0$ lo moltiplichiamo sempre per -h, $A_1$ per 0 e $A_2$ per h, ma nn capisco cosa sto facendo quando faccio queste moltiplicazioni e poi eguaglio al valore che ho trovato calcolando l integrale...nn so cos e una formula di quadratura..
cosa sono i monomi che hai scelto?cosa rappresentano?sto facendo confusione...
e con lagrange che integrali verrebbero fuori?
Io ho capito che al $A_0$ lo moltiplichiamo sempre per -h, $A_1$ per 0 e $A_2$ per h, ma nn capisco cosa sto facendo quando faccio queste moltiplicazioni e poi eguaglio al valore che ho trovato calcolando l integrale...nn so cos e una formula di quadratura..
cosa sono i monomi che hai scelto?cosa rappresentano?sto facendo confusione...
e con lagrange che integrali verrebbero fuori?
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