Forme quadratiche e spazi affini

[Pierlu11]

Avrei due esercizi da proporvi che vorrei controllaste e sui quali mi sorgono alcuni dubbi:
1) Sia $ phi:RR^4->RR $ una forma bilineare simmetrica tale che $ phi(ul(x),ul(y))=ul(x)_tA_hul(y) $ con $ A=( ( 5 , 1 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -3 , 1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) ) $ .
Cercare una base in cui la forma quadratica associata è il forma canonica.

Ho pensato di trasformare tramite operazioni simmetriche su righe e colonne la matrice $ A=( ( 5 , 1 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -3 , 1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) )( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ (insieme all'identità sulla quale agisco solo su righe)...
A destra ottengo quindi una matrice fatta dai vettori della base ortogonale che sono le quattro righe... li normalizzo dividendoli per la norma e ottengo la base che cercavo...

- La norma che devo usare nella normalizzazione è la radice del prodotto interno definito dalla matrice che ho (non quella classica...)?

2) Sono dati i punti $ A-= ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ , $ B-= ( ( 2 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $ , $ C-= ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ e la retta $ r:x-w-1=y-kw=x-z-kw=0 $ .
Descrivere, al variare del parametro $ k $ il sottospazio lineare generato da punti e ratta tramite le sue equazioni cartesiane.
Fare questo tipo di esercizio equivale a descrivere la posizione reciproca del piano individuato dai tre punti con la retta? (Cioè le cose sono collegate)

Grazie in anticipo per le risposte...

[Sk_Anonymous]

"Pierlu11":Avrei due esercizi da proporvi che vorrei controllaste e sui quali mi sorgono alcuni dubbi:
1) Sia $ phi:RR^4->RR $ una forma bilineare simmetrica tale che $ phi(ul(x),ul(y))=ul(x)_tA_hul(y) $ con $ A=( ( 5 , 1 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -3 , 1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) ) $ .
Cercare una base in cui la forma quadratica associata è il forma canonica.

Ho pensato di trasformare tramite operazioni simmetriche su righe e colonne la matrice $ A=( ( 5 , 1 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -3 , 1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) )( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ (insieme all'identità sulla quale agisco solo su righe)...
A destra ottengo quindi una matrice fatta dai vettori della base ortogonale che sono le quattro righe... li normalizzo dividendoli per la norma e ottengo la base che cercavo... [...]

Non ho capito cosa vorresti fare.
In primo luogo, se fossi in te, cercherei di capire com'è fatta questa forma bil, tanto per sapere che tipo di forma canonica aspettarsi (detto tra i denti: calcola la segnatura). Poi di solito ci si affida ai soliti procedimenti standard, per calcolare la base che diagonalizza: Gram-Schmidt, completamento dei quadrati o a mano (in questo caso potresti già osservare che \(e_3\) e \(e_4\) della base canonica, in cui immagino sia scritta quella matrice, sono ortogonali secondo quella forma bil).