Forme quadratiche e identità di polarizzazione
Questa è una domanda che mi posi tempo fa: data una applicazione $q:V\toK$, sotto quali condizioni questa è una forma quadratica?
[size=75]Dove per forma quadratica intendo una applicazione per la quale esiste una forma bilineare simmetrica $b$ tale che
$q(v)=b(v,v)$ per tutti i $v\inV$.
(E per forma bilineare intendo una $b:VtimesV\toK$ lineare nelle due variabili).
[/size]
La domanda nasce dall'identità (di polarizzazione o recovery formula):
se $q$ è la forma quadratica definita dalla forma bilineare $b$ mediante $q(v)=b(v,v)$, allora risulta
$2b(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)$.
Questo significa che, data una forma quadratica, è possibile ricostruire la forma bilineare che la origina; in particolare se parliamo di prodotti scalari reali, abbiamo che si può risalire ad un prodotto scalare nota la sua norma indotta.
Per i prodotti scalari reali si può dimostrare che
ogni norma verificante l'identità del parallelogramma $||x+y||^2+||x-y||^2=||x||^2+||y||^2$ discende da un prodotto scalare.
Quindi, data una norma siffatta, mediante l'identità di polarizzazione possiamo risalire al suo prodotto scalare.
C'è una versione analoga di questo teorema per forme quadratiche in generale?
[size=75]Dove per forma quadratica intendo una applicazione per la quale esiste una forma bilineare simmetrica $b$ tale che
$q(v)=b(v,v)$ per tutti i $v\inV$.
(E per forma bilineare intendo una $b:VtimesV\toK$ lineare nelle due variabili).
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La domanda nasce dall'identità (di polarizzazione o recovery formula):
se $q$ è la forma quadratica definita dalla forma bilineare $b$ mediante $q(v)=b(v,v)$, allora risulta
$2b(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)$.
Questo significa che, data una forma quadratica, è possibile ricostruire la forma bilineare che la origina; in particolare se parliamo di prodotti scalari reali, abbiamo che si può risalire ad un prodotto scalare nota la sua norma indotta.
Per i prodotti scalari reali si può dimostrare che
ogni norma verificante l'identità del parallelogramma $||x+y||^2+||x-y||^2=||x||^2+||y||^2$ discende da un prodotto scalare.
Quindi, data una norma siffatta, mediante l'identità di polarizzazione possiamo risalire al suo prodotto scalare.
C'è una versione analoga di questo teorema per forme quadratiche in generale?
Risposte
Dissonance, pur non rispondendoti in pieno, vorrei fare una precisazione.
Il Teorema di Von Neuman sulle norme hilbertiane (i.e. norme indotte da un prodotto scalare) vale anche per prodotti scalari complessi, su spazi di dimensione non necessariamente finita; insomma, una norma su uno spazio vettoriale complesso soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se essa è indotta da un prodotto scalare complesso.
Il Teorema di Von Neuman sulle norme hilbertiane (i.e. norme indotte da un prodotto scalare) vale anche per prodotti scalari complessi, su spazi di dimensione non necessariamente finita; insomma, una norma su uno spazio vettoriale complesso soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se essa è indotta da un prodotto scalare complesso.
Meglio ancora. Del resto, la mia domanda ha un qualche interesse solo in spazi di dimensione infinita: in dimensione finita una forma quadratica sarà, in ultima analisi, un polinomio omogeneo di 2° grado.
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