Forme Quadratiche

[f4st1]

ho un problema con le forme quadratiche

$F(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2xz+2xt+2yz+2yt+2zt$

a) si dica se 0 è autovalore della matrice $S$ associata a F. si calcoli eventualmente l'autospazio relativo ad esso
b) si dica se F è definita positiva,indefinita ecc..
c)si dica se tra le matrici ortogonali che diagonalizzano S ce n'è una che ha $(1/2, -1/2, 1/2,-1/2)$ come prima colonna in caso affermativo la si determini
d)si determini se esiste un autovettore $(x_0,y_0,z_0,t_0)$ tale che $F(x_0,y_0,z_0,t_0)=1$

ho scritto la matrice$S$ associata alla forma quadratica
$((1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1))$

per proseguire serve che calcoli gli autovalori assolutamente..
ma per me.. il polinomio caratteristico di $S$ è mostruoso, e se lo calcolo tipo con Laplass sicuramente farò degli errori e soprattutto sarebbe lunghissimooo!!
vi prego non c'è un altro modo per calcolare gli autovalori? magari qualche teorema che possa aiutare? (purtroppo sono anche senza materiale che abbiano il "taglio" che dà il mio prof. .. )

grazie a tutti

[franced]

"f4st":
La matrice $S$ è

$((1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1))$

Gli autovalori sono semplicissimi:

il rango è uguale a $1$ e la traccia della matrice è $4$.

Ora continua da solo!

[Camillo]

Laplass !!! è Laplace , mai aperta una dispensa di Geometria ?

[franced]

"Camillo":Laplass !!! è Laplace , mai aperta una dispensa di Geometria ?

"Laplass" è per gli amici!!

[f4st1]

"franced":

"Laplass" è per gli amici!!

appunto! (scusate non ricordavo lo spelling:D)

sii! è vero! bastava osservare la traccia e il rango per capire che erano $\lambda=0$e $\lambda=4$ in modo da avere
$tr(S)=4$ somma degli autovalori
$rg(S)=1$ esiste un solo autovalore non nullo
$det(S)=0$ il prodotto degli autovalori
non c'avevo pensato

ma se la matrice ordine 4x4 avesse rango 4 quindi non singolare devo rassegnarmi a calcolare un polinomio caratteristico lunghissimo? non c'è alternativa?

[franced]

Devi vedere caso per caso: magari ti capita una triangolare superiore (o inferiore)...