Forme canoniche per endomorfismi su $RR^n$
Tra gli endomorfismi di $RR^n$, ce ne sono alcuni il cui polinomio caratteristico non ha tutti gli autovalori reali (sono gli endomorfismi non triangolarizzabili in $RR$), ad esempio:
$phi$:$RR^2->RR^2$ di matrice (nella base canonica) $A=((0 -1),(1 0))$
Come si classificano queste particolari applicazioni lineari?
$phi$:$RR^2->RR^2$ di matrice (nella base canonica) $A=((0 -1),(1 0))$
Come si classificano queste particolari applicazioni lineari?
Risposte
"Dorian":
Tra gli endomorfismi di $RR^n$, ce ne sono alcuni il cui polinomio caratteristico non ha tutti gli autovalori reali (sono gli endomorfismi non triangolarizzabili in $RR$), ad esempio:
$phi$:$RR^2->RR^2$ di matrice (nella base canonica) $A=((0 -1),(1 0))$
Come si classificano queste particolari applicazioni lineari?
E' una rotazione, che infatti non ha autovettori reali.
Se ti accontenti di $mathbb{R}^2$ ti posso dire che gli endomorfismi senza autovalori in $mathbb{R}$
sono simili alla trasformazione
$T = ((a,-b),(b,a))$
che, da un punto di vista geometrico, corrisponde ad una roto-omotetia.
Nel caso della rotazione $a^2+b^2=1$ e quindi l'omotetia non c'è (o, per
essere pignoli, ha fattore $\lambda=1$).
sono simili alla trasformazione
$T = ((a,-b),(b,a))$
che, da un punto di vista geometrico, corrisponde ad una roto-omotetia.
Nel caso della rotazione $a^2+b^2=1$ e quindi l'omotetia non c'è (o, per
essere pignoli, ha fattore $\lambda=1$).
Non vorrei essere frainteso: ho detto che tutte le trasformazioni
senza autovalori reali sono SIMILI alla trasformazione scritta sopra.
Non ho detto che sono roto-omotetie e basta.
Esempio:
$T = ((2,-6),(3,4))$
non ha autovalori reali ma risulta composizione di una
roto-omotetia con uno stiramento.
senza autovalori reali sono SIMILI alla trasformazione scritta sopra.
Non ho detto che sono roto-omotetie e basta.
Esempio:
$T = ((2,-6),(3,4))$
non ha autovalori reali ma risulta composizione di una
roto-omotetia con uno stiramento.
Ho capito. Grazie per la risposta.
Ho studiato per un pò di tempo questo problema (senza ottenere buoni risultati...), cercando basi per gli endomorfismi tali che le matrici associate fossero del tipo $((0 a),(b 0))$. Quindi ho cercato coppie di vettori $v$,$w in RR^2$ tali che $phi(v)=aw$ e $phi(w)=bv$ ($a$,$b!=0$)... l'esistenza di siffatti vettori implica che $ab$ sia autovalore per $phi^2$...
Ho quindi studiato le relazioni tra gli autovalori di una generica $phi$ lineare e $phi^2$... Però non ho trovato nulla di interessante.....
Ho studiato per un pò di tempo questo problema (senza ottenere buoni risultati...), cercando basi per gli endomorfismi tali che le matrici associate fossero del tipo $((0 a),(b 0))$. Quindi ho cercato coppie di vettori $v$,$w in RR^2$ tali che $phi(v)=aw$ e $phi(w)=bv$ ($a$,$b!=0$)... l'esistenza di siffatti vettori implica che $ab$ sia autovalore per $phi^2$...
Ho quindi studiato le relazioni tra gli autovalori di una generica $phi$ lineare e $phi^2$... Però non ho trovato nulla di interessante.....
Su ogni campo K si possono classificare gli endomorfismi.
Se l'endomorfismo è triangolabile possiamo usare la forma canonica di Jordan.
Altrimenti, si può sempre usare la forma canonica razionale.
Se invece ti interessano gli endomorfismi su R, ti posso dire che esiste la forma canonica reale di Jordan che sfrutta la forma complessa di Jordan.
Se l'endomorfismo è triangolabile possiamo usare la forma canonica di Jordan.
Altrimenti, si può sempre usare la forma canonica razionale.
Se invece ti interessano gli endomorfismi su R, ti posso dire che esiste la forma canonica reale di Jordan che sfrutta la forma complessa di Jordan.
"NightKnight":
Su ogni campo K si possono classificare gli endomorfismi.
Se l'endomorfismo è triangolabile possiamo usare la forma canonica di Jordan.
Altrimenti, si può sempre usare la forma canonica razionale.
Se invece ti interessano gli endomorfismi su R, ti posso dire che esiste la forma canonica reale di Jordan che sfrutta la forma complessa di Jordan.
Forma complessa di Jordan? In cosa consiste? Conosco il teorema di Jordan, che vale per matrici reali ad autovalori reali...
Il teorema di Jordan e la corrispondente forma canonica vale su qualsiasi campo:
Sia V uno spazio vettoriale sul campo K di dimensione finita, sia f un endomorfismo da V in V; allora:
Esiste una base di V rispetto a cui la matrice associata a f è una matrice diagonale a blocchi in cui i blocchi sono tutti blocchi di Jordan SE E SOLO SE f è triangolabile SE E SOLO SE f ha tutti gli autovalori in K.
Inoltre la forma di Jordan è univocamente determinata da f a meno di permutare i blocchi.
Corollario: se K è algebricamente chiuso, f può essere messo in Jordan.
Quindi su C ogni endomorfismo può essere messo in forma di Jordan.
Quella che io ho impropriamente chiamato forma di Jordan complessa è la forma di Jordan per un endomorfismo di uno spazio vettoriale reale considerato come endomorfismo complesso.
Per intenderci, data una matrice reale, puoi considerarla a coefficienti complessi, ti trovi la forma di Jordan di questa matrice sullo spazio complesso C^n; e poi ad ogni blocco di questa forma di jordan "complessa" corrisponde un blocco per la forma di jordan reale. Ma qui è complicato farti vedere questa corrispondenza.
Se la matrice reale di partenza aveva tutti gli autovalori reali, allora la forma di jordan reale coincide con la forma di jordan;
se invece la matrice non ha tutti gli autovalori in R, non possiamo costruire la forma di Jordan, ma possiamo costruire la forma di Jordan reale.
E inoltre vale: la forma di Jordan reale è univocamente determinata dall'endomorfismo a meno di permutare i blocchi.
Sia V uno spazio vettoriale sul campo K di dimensione finita, sia f un endomorfismo da V in V; allora:
Esiste una base di V rispetto a cui la matrice associata a f è una matrice diagonale a blocchi in cui i blocchi sono tutti blocchi di Jordan SE E SOLO SE f è triangolabile SE E SOLO SE f ha tutti gli autovalori in K.
Inoltre la forma di Jordan è univocamente determinata da f a meno di permutare i blocchi.
Corollario: se K è algebricamente chiuso, f può essere messo in Jordan.
Quindi su C ogni endomorfismo può essere messo in forma di Jordan.
Quella che io ho impropriamente chiamato forma di Jordan complessa è la forma di Jordan per un endomorfismo di uno spazio vettoriale reale considerato come endomorfismo complesso.
Per intenderci, data una matrice reale, puoi considerarla a coefficienti complessi, ti trovi la forma di Jordan di questa matrice sullo spazio complesso C^n; e poi ad ogni blocco di questa forma di jordan "complessa" corrisponde un blocco per la forma di jordan reale. Ma qui è complicato farti vedere questa corrispondenza.
Se la matrice reale di partenza aveva tutti gli autovalori reali, allora la forma di jordan reale coincide con la forma di jordan;
se invece la matrice non ha tutti gli autovalori in R, non possiamo costruire la forma di Jordan, ma possiamo costruire la forma di Jordan reale.
E inoltre vale: la forma di Jordan reale è univocamente determinata dall'endomorfismo a meno di permutare i blocchi.
"NightKnight":
Il teorema di Jordan e la corrispondente forma canonica vale su qualsiasi campo:
Sia V uno spazio vettoriale sul campo K di dimensione finita, sia f un endomorfismo da V in V; allora:
Esiste una base di V rispetto a cui la matrice associata a f è una matrice diagonale a blocchi in cui i blocchi sono tutti blocchi di Jordan SE E SOLO SE f è triangolabile SE E SOLO SE f ha tutti gli autovalori in K.
Inoltre la forma di Jordan è univocamente determinata da f a meno di permutare i blocchi.
Corollario: se K è algebricamente chiuso, f può essere messo in Jordan.
Quindi su C ogni endomorfismo può essere messo in forma di Jordan.
Quella che io ho impropriamente chiamato forma di Jordan complessa è la forma di Jordan per un endomorfismo di uno spazio vettoriale reale considerato come endomorfismo complesso.
Per intenderci, data una matrice reale, puoi considerarla a coefficienti complessi, ti trovi la forma di Jordan di questa matrice sullo spazio complesso C^n; e poi ad ogni blocco di questa forma di jordan "complessa" corrisponde un blocco per la forma di jordan reale. Ma qui è complicato farti vedere questa corrispondenza.
Se la matrice reale di partenza aveva tutti gli autovalori reali, allora la forma di jordan reale coincide con la forma di jordan;
se invece la matrice non ha tutti gli autovalori in R, non possiamo costruire la forma di Jordan, ma possiamo costruire la forma di Jordan reale.
E inoltre vale: la forma di Jordan reale è univocamente determinata dall'endomorfismo a meno di permutare i blocchi.
Ero a conoscenza di questo fatto... Possiamo concludere dicendo che su $CC$ ogni matrice quadrata è triangolarizzabile (ad esempio in blocchi di Jordan) ed in generale se la matrice ha coefficienti in $K$, sarà triangolarizzabile in ogni chiusura algebrica di $K$
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