Forme bilineari, una domanda

[maion1]

Sera a tutti,

avrei una domanda da porvi anche se piuttosto sciocca. Ho iniziato ora a leggere riguardo forme bilineari, simmetriche e prodotti scalari.

Mi chiedevo se fosse possibile definire una qualche forma bilineare (e dunque una sua matrice associata) per due vettori tra loro linearmente dipendenti. Cioè in sostanza se è possibile in qualche modo definire una forma bilineare in una sola dimensione [o non esistono] ad esempio (ipotizzo) riducendo le matrici ad un solo elemento?


Vi ringrazio.

[Bokonon]

Beh anche i vettori sarebbero "monocomponenti", quindi scalari.
$a*k*b$ dove k è un reale qualsiasi e sarebbe anche il "prodotto scalare" generico di due numeri a e b. Non ha molto senso in $R$.
Comunque sia il prodotto scalare di due vettori lin. dipendenti si fa anche in spazi di dimensione $R^n$

Presi due vettori $a=(1,1)$ e $b=(3,3)=3a$, il prodotto scalare euclideo standard è $a_1b_1+a_2b_2=6$
La forma bilineare simmetrica associata è la matrice identità $ ( 1 \ \ 1 )( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )( ( 3 ),( 3 ) )=6 $

Rispetto al prodotto scalare $a_1b_1+a_2b_1+a_1b_2+2a_2b_2$ si ottiene 15
La forma bilineare simmetrica associata è $Q=( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) )$ quindi $ ( 1 \ \ 1 )( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) )( ( 3 ),( 3 ) )=15 $

In entrambi i casi $b=3a$ e in entrambi i casi $a*b=a*3a=3*||a||^2$
$||a||^2=2$ con la norma standard e $||a||^2=5$ con Q.

I due prodotti scalari non cambiano il fatto che a e b siano sempre lin. dip.
Mentre cambia il fatto che due vettori non ortogonali rispetto ad una norma potrebbero esserlo rispetto ad un'altra.
Prova a fare il prodotto scalare di $a=(1,1)$ e $b=(3,-2)$ standard e con Q...e dimmi cosa cambia.

[maion1]

Buongiorno e grazie per la risposta.

Quanto dici mi torna realmente tutto bene e sono contento perché mi aiuta a riordinare le idee di quanto ho appena studiato e mi conferma che almeno ho capito giusto , diciamo che paradossalmente ho più facilità a comprenderlo per spazi $\RR^n , n>=2$, ma il mio dubbio nasceva più che altro per spazi R.

Il dubbio mi è sorto leggendo la dimostrazione che "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti", da questo allora ho pensato che in realtà in una dimensione non posso definire un prodotto scalare (cioè una forma bilineare simmetrica e definita positiva) tra gli oggetti di questo spazio vettoriale unidimensionale altrimenti sarebbe un assurdo.

Vado a precisare il perché: in sostanza dato che l'ortogonalità discende dalla costruzione di un prodotto scalare, se potessi definire un prodotto scalare in 1D (es: $\RR$) questo equivarrebbe ad affermare che introduco il concetto di ortogonalità e da questo discende che due vettori moltiplicati tra loro nello spazio R portanno dare zero e quindi saranno ortogonali. Tuttavia è un assurdo perché per il succitato teorema dimostrabile allora sarebbero due vettori linearmente indipendenti e in quanto tali sarebbero dei generatori di uno spazio vettoriale di dimensione $>=1$.

Dunque in R potranno al massimo esistere forme bilineari, certo (forse anche simmetriche), ma mai bilineari simmetriche definite positive (aka "prodotto scalare") poiché vale il fatto: "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti".
Mi sembra una intuizione corretta, ma se lo fosse non saprei dimostrarlo rigorosamente ho cercato molto ma non ho trovato nulla a riguardo.

E' giusto quanto dico o mi sfugge qualcosa?

[fmnq]

Una applicazione bilineare, per definizione, è una mappa $g : V\times W \to Z$ tale che $g(v,-)$ e $g(-,w)$ siano entrambe lineari; che problema c'è quando $V=W$ ha dimensione 1 e $Z$ è il campo $K$ su cui $V,W$ sono spazi vettoriali? L'insieme di tali $g$, in quel caso, è un onesto spazio vettoriale di dimensione 1, come ti sarà facile dimostrare, e quindi non c'è niente di "assurdo".

[maion1]

Ok sulla forma bilinearemi torna, però nel post precedente non capisco cosa io sbagli nel ragionamento riguardo le forme bilineari simmetriche definite positive in dimensione 1.
Mi pare un assudro definire un prodotto scalare in dim. 1, poiché:

"maion":
Il dubbio mi è sorto leggendo la dimostrazione che "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti", da questo allora ho pensato che in realtà in una dimensione non posso definire un prodotto scalare (cioè una forma bilineare simmetrica e definita positiva) tra gli oggetti di questo spazio vettoriale unidimensionale altrimenti sarebbe un assurdo.

Vado a precisare il perché: in sostanza dato che l'ortogonalità discende dalla costruzione di un prodotto scalare, se potessi definire un prodotto scalare in 1D (es: $\RR$) questo equivarrebbe ad affermare che introduco il concetto di ortogonalità e da questo discende che due vettori moltiplicati tra loro nello spazio R portanno dare zero e quindi saranno ortogonali. Tuttavia è un assurdo perché per il succitato teorema dimostrabile allora sarebbero due vettori linearmente indipendenti e in quanto tali sarebbero dei generatori di uno spazio vettoriale di dimensione $>=1$.

Dunque in R potranno al massimo esistere forme bilineari, certo (forse anche simmetriche), ma mai bilineari simmetriche definite positive (aka "prodotto scalare") poiché vale il fatto: "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti".
Mi sembra una intuizione corretta, ma se lo fosse non saprei dimostrarlo rigorosamente ho cercato molto ma non ho trovato nulla a riguardo.

Questa faccenda mica mi torna troppo

[anto_zoolander]

Scusa prendi uno spazio di dimensione $1$, $V=<>$, e una forma bilineare $b:VtimesV->RR$. Se esistessero due vettori $v,w$ ortogonali allora

$0=b(v,w)=b(lambdax,mux)=(lambda*mu)b(x,x)$

Ora nota che in uno spazio di dimensione uno se esiste un vettore isotropo allora la forma è nulla. Quindi una forma non nulla ha ogni vettore non isotropo.

A questo punto se $b$ è non nulla allora deve essere $lambda*mu=0$ e questo vale sse almeno uno dei due è zero.

Questo significa che non puoi avere due vettori non nulli che siano ortogonali, pertanto non c’è provlema con la lineare dipendenza.

[Bokonon]

Maion, anche solo ragionando geometricamente ti sarà chiaro. In $R$ tutti i vettori stanno sulla stessa "retta": non possono esserci due vettori (non nulli) ortogonali fra di loro perchè sono tutti lin. dip (nessuno "sbuca" fuori dalla retta)....ma questo non impedisce che si possa definire una forma bilineare anche in $R$ e sarà automaticamente simmetrica se ci pensi (la trasposta di uno scalare è lo scalare stesso).
Non è "banale" invece in spazi di dimensione $>1$ dove effettivamente ci sono anche vettori lin. indip. e in cui si definiscono ortogonali i vettori il cui prodotto scalare è zero...per cui la forma bilineare scelta effettivamente "definisce" quali vettori sono ortogonali e quali no. Questa è la sequenza logica.

Detto, questo, ci sono infinite forme bilineari e la più generica è del tipo g:V->W
Ma nel programma (al 99,9%) restringerai lo studio a forme g:V->V e simmetriche.
Se, per esempio, la matrice simmetrica associata è semidefinita positiva, significa che non ha rango massimo, quindi il suo kernel ha dimensione maggiore di zero. In questo caso, come sai, tutti i vettori v che si trovano nello span del nucleo sono tali che $ =0$ (rispetto a quella forma bilineare) perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).
Come vedi lo studio delle forme bilineari in generale è importante per via delle loro implicazioni.

[maion1]

Ciao ancora, in realtà stavo affermando esattamente questo, cioè l'avevo intuito ma volevo mostrarlo in modo esplicito come fatto da voi. Ora mi è chiaro molte molte grazie!

Unico punto prima di passare all'ultimo dubbio che vorrei sottoporvi è questo:

"Bokonon":
Se, per esempio, la matrice simmetrica associata è semidefinita positiva, significa che non ha rango massimo, quindi il suo kernel ha dimensione maggiore di zero.

Certo mi è ovvio.

In questo caso, come sai, tutti i vettori v che si trovano nello span del nucleo sono tali che $ =0$ (rispetto a quella forma bilineare) perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).

Questo meno .
In particolare mi sfugge il perché di:
1) $ =0$ come proprietà del nucleo rispetto alla forma bilineare.
2)"perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi)" in realtà capito il punto (1) ho mostrato che i vettori del nucleo sono ortogonali a se stessi,tuttavia il vettore isotropo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio quindi perché basta la condizione $ =0$ percapire che v è isotropo?

Dovrei saperlo ma non lo so, ammetto. Perché? Non riesco a capirlo.

[dissonance]

"Bokonon": ci sono infinite forme bilineari e la più generica è del tipo g:V->W

Vuoi dire $g : V \times W \to K$.

[maion1]

[OT @dissonance]

In realtà la più generica non dovrebbe essere $g : V xxX \to K$ con V e X s.v su K.
Chiedo

[EDIT]: pardon dissonance, credevo avessi scritto $g : V xxV \to K$ non $g : V xxW \to K$ mi sono rimbecillito

[Bokonon]

Prendiamo la matrice $ Q=( ( 1 , 2 ),( 2 , 4 ) ) $.
E' la matrice associata ad una forma bilineare in $R^2$, è simmetrica ed è semidefinita positiva perchè det(Q)=0, quindi un autovalore è zero. Il kernel di questa matrice è lo span di $(2,-1)$, quindi ha dimensione 1 (una retta).
Ora, se prendiamo un vettore di $R^2$ che sta su quella retta, ad esempio proprio $v=(2,-1)$, e ne calcoliamo la norma rispetto a Q otteniamo:
$ ( 2 \ \ -1 ) {( ( 1 , 2 ),( 2 , 4 ) ) ( ( 2 ),( -1 ) )} =0 $
Ho messo fra parentesi graffe il sistema omogeneo di cui v è appunto una soluzione, quindi il prodotto $Qv=0$ e la norma al quadrato è uguale a zero. Da cui segue che $ =0$ rispetto a Q, ovvero che v è ortogonale a se stesso.
Usando la norma euclidea o qualsiasi prodotto scalare non degenere e definito (vuoi positivo o negativo), l'unico vettore ortogonale a se stesso è il vettore nullo. Mentre in una forma semidefinita (e anche in quelle degeneri) esistono vettori che NON sono il vettore nullo ma che si comportano esattamente come lui, ovvero sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).

[Bokonon]

"dissonance":
Vuoi dire $g : V \times W \to K$.

Ok, ma visto il livello della discussione stiamo ragionando sempre in $R$.
Non complicategli la vita! Almeno nelle fasi iniziali, è più utile dare il quadro della situazione affinchè maion possa orientarsi.
Solo dopo starà a chiedersi cose come "chissà quale potrebbe essere un esempio non banale di prodotto scalare in un campo con corpo di caratteristica 2".
E in effetti la domanda è concreta, perchè sto approffittando di questo thread per chiedervelo!
Non riesco davvero ad immaginarmi quali "oggetti" potrebbero essere un esempio valido in un campo del genere.

[maion1]

"Bokonon":
Usando la norma euclidea o qualsiasi prodotto scalare non degenere e definito (vuoi positivo o negativo), l'unico vettore ortogonale a se stesso è il vettore nullo. Mentre in una forma semidefinita (e anche in quelle degeneri) esistono vettori che NON sono il vettore nullo ma che si comportano esattamente come lui, ovvero sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).

Questo mi è chiaro devo dire, forse anche perché ci ho "perso" tutta la girnata di ieri per digerirlo, però sì mi ha stupito ed esilarato molto.

Ti ringrazio per l'esempio portato, però più che un esempio volevo chiedere il perché in generale valesse la tua affermazione seguente:

In questo caso, come sai, tutti i vettori v che si trovano nello span del nucleo sono tali che $ =0$ (rispetto a quella forma bilineare) perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).

Per questo scrivevo:
In particolare mi sfugge il perché di..
1) $ =0$ come proprietà del nucleo rispetto alla forma bilineare.
2)"perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi)" in realtà capito il punto (1) ho mostrato che i vettori del nucleo sono ortogonali a se stessi,tuttavia il vettore isotropo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio quindi perché basta la condizione $ =0$ per capire che v è isotropo?

Cioè ho in mente più o meno chiaramente il concetto di isotropo ecc, solo non ho capito l'affermazione

[dissonance]

Non complicategli la vita!

Lungi da me complicare la vita a nessuno, ma una cosa è scrivere V x W e un'altra è V - > W, era là il mio commento.

Quanto ai campi astratti, so che sono cose che si usano in certi ambiti della teoria dei numeri (numeri p-adici), e in altri ambiti ancora dei quali non so assolutamente nulla.

[Bokonon]

"maion":
In particolare mi sfugge il perché di..
1) $ =0$ come proprietà del nucleo rispetto alla forma bilineare.
2)"perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi)" in realtà capito il punto (1) ho mostrato che i vettori del nucleo sono ortogonali a se stessi,tuttavia il vettore isotropo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio quindi perché basta la condizione $ =0$ percapire che v è isotropo?

1) scusami ma ti ho anche messo in evidenza con le parentesi graffe il $Qv=0$
Torna con la mente ai sistemi omogenei. Se v appartiene al nucleo di Q, allora è una soluzione del sistema $Qv=0$, no?
Quindi quando fai $v^TQv=v^T*0=0$, no?
2) $ =0$ è la definizione di vettore isotropo. Che poi anche $ =0$, con w che non appartiene al nucleo di Q, mi dice solo che sono perpendicolari. Non è un fatto particolarmente distintivo.
Se ti dico $ =0$ rispetto a un generico Q sono perpendicolari e ti chiedo qualcosa su Q, non puoi dirmi nulla di preciso, no?
Due vettori distinti perpendicolari li trovi per qualsiasi forma bilineare simmetrica, no?
Se invece ti dico $ =0$ rispetto a Q con v diverso dal vettore nullo, allora invece mi saprai dire qualcosa su Q. Che è un prodotto scalare degenere oppure che Q è semidefinita. No?
Sapere che esistono vettori isotropi è un tratto "distintivo". Sapere che esistono vettori perpendicolari, no.

[maion1]

Eh hai ragione anche tu! Domanda stupida, dovevo arrivarci.

Mi pare chiaro ora
Grazie mille!

[Bokonon]

"dissonance":Lungi da me complicare la vita a nessuno, ma una cosa è scrivere V x W e un'altra è V - > W, era là il mio commento.

Ops, non me ne ero accorto manco rileggendolo.
Hai perfettamente ragione.

"dissonance":
Quanto ai campi astratti, so che sono cose che si usano in certi ambiti della teoria dei numeri (numeri p-adici), e in altri ambiti ancora dei quali non so assolutamente nulla.

Figurati per me! Sono troppo astratti.

[fmnq]

"dissonance":

Non complicategli la vita!

Lungi da me complicare la vita a nessuno, ma una cosa è scrivere V x W e un'altra è V - > W, era là il mio commento.

Quanto ai campi astratti, so che sono cose che si usano in certi ambiti della teoria dei numeri (numeri p-adici), e in altri ambiti ancora dei quali non so assolutamente nulla.

Cos'è un "campo astratto" (e per contro, cos'è un campo concreto)?

[dissonance]

Voglio dire, campi diversi da R e C e Q. Astratto non era l'aggettivo giusto. Ma

[Bokonon]

"fmnq":
Cos'è un "campo astratto" (e per contro, cos'è un campo concreto)?

Molto zen e come in tutti paradossi zen la soluzione è una sua volta una domanda.
Sapresti darmi un esempio concreto di spazio con caratteristica 2?
Dico davvero...

[Bokonon]

"dissonance":Voglio dire, campi diversi da R e C e Q. Astratto non era l'aggettivo giusto. Ma

Beh dipende. Secondo me è l'aggettivo "astratto" non è affatto peregrino in molte situazioni.
Prendiamo ad esempio i numeri normali. Sono definiti ed esistono...ma nessuno ha mai portato un esempio concreto..finora
https://www.youtube.com/watch?v=5TkIe60y2GI

P.S. A parte quello costruito appositamente...