Forme bilineari simmetriche:vettori isotropi in una base
Ciao a tutti, col sistema di ricerca ho trovato tante cose, ma non quella che cercavo veramente.
Negli esercizi svolti a lezione ho notato che quando cercavamo una base ortogonale per una forma bilineare simmetrica escludevamo i vettori isotropi. Perché è necessario fare questo? Si giustifica attraverso il teorema di Sylvester? Se la forma è degenere possono esserci vettori isotropi nella base? Grazie in anticipo
Negli esercizi svolti a lezione ho notato che quando cercavamo una base ortogonale per una forma bilineare simmetrica escludevamo i vettori isotropi. Perché è necessario fare questo? Si giustifica attraverso il teorema di Sylvester? Se la forma è degenere possono esserci vettori isotropi nella base? Grazie in anticipo
Risposte
Penso dipenda dall'algoritmo che conosci tu per costruire una base ortogonale rispetto a $\phi$..quello che conosco io è sostanzialmente così:
Considero una base B' del radicale di $ \phi $, $B=(z_1,..,z_k)$ e la estendo a base B di V $B=(z_1,..,z_k,v_{k+1},..v_n)$. Ora considero la forma bilineare simmetrica $ \phi $ ristretta al sottospazio generato dai vettori $ v_i $, lo chiamerò W_0. In questa restrizione è non degenere. Adesso costruisco con le mani una base ortogonale di W_0. Come prima cosa prendo un vettore non isotropo, u_1, e lo completo a base $B_1=(u_1,..,u_m)$. Considero ora la nuova base $B_2=(u_1, u_2-u_1 \frac {\phi(u_2,u_1)}{\phi (u_1,u_1)},...,u_m-u_1 \frac {\phi(u_m,u_1)}{\phi (u_1,u_1)})$, in questo modo se scrivi la ma trice del prodotto scalare rispetto alla base b_1 la prima colonna viene $(\phi(u_1, u_1),0,..,0)$. questa scelta non la avrei potuta fare se u_1 era isotropo perchè non potevo dividere per $\phi (u_1,u_1)$!! ora considero il prodotto scalare ristretto a llo spazio w_1 generato da $(u_2-u_1 \frac {\phi(u_2,u_1)}{\phi (u_1,u_1)},...,u_m-u_1 \frac {\phi(u_m,u_1)}{\phi (u_1,u_1)})$ e itero il ragionamento. Alla fine i vettori che ho tolto ogni volta mi formeranno la base ortogonale..
Si, se la forma è degenere devono esserci vettori isotropi nella base. Inoltre(se non sbaglio) questo vale per un prodotto scalare su uno spazio vettoriale su un campo qualsiasi, silvester vale solo su R quindi direi che, a prescindere dalla dimostrazione che ti hanno fatto vedere per costruire una base ortognoale, non è vero che si giustifica con silvester..o almeno, con silvester la puoi giusrificare solo su un R-spazio..
Considero una base B' del radicale di $ \phi $, $B=(z_1,..,z_k)$ e la estendo a base B di V $B=(z_1,..,z_k,v_{k+1},..v_n)$. Ora considero la forma bilineare simmetrica $ \phi $ ristretta al sottospazio generato dai vettori $ v_i $, lo chiamerò W_0. In questa restrizione è non degenere. Adesso costruisco con le mani una base ortogonale di W_0. Come prima cosa prendo un vettore non isotropo, u_1, e lo completo a base $B_1=(u_1,..,u_m)$. Considero ora la nuova base $B_2=(u_1, u_2-u_1 \frac {\phi(u_2,u_1)}{\phi (u_1,u_1)},...,u_m-u_1 \frac {\phi(u_m,u_1)}{\phi (u_1,u_1)})$, in questo modo se scrivi la ma trice del prodotto scalare rispetto alla base b_1 la prima colonna viene $(\phi(u_1, u_1),0,..,0)$. questa scelta non la avrei potuta fare se u_1 era isotropo perchè non potevo dividere per $\phi (u_1,u_1)$!! ora considero il prodotto scalare ristretto a llo spazio w_1 generato da $(u_2-u_1 \frac {\phi(u_2,u_1)}{\phi (u_1,u_1)},...,u_m-u_1 \frac {\phi(u_m,u_1)}{\phi (u_1,u_1)})$ e itero il ragionamento. Alla fine i vettori che ho tolto ogni volta mi formeranno la base ortogonale..
Si, se la forma è degenere devono esserci vettori isotropi nella base. Inoltre(se non sbaglio) questo vale per un prodotto scalare su uno spazio vettoriale su un campo qualsiasi, silvester vale solo su R quindi direi che, a prescindere dalla dimostrazione che ti hanno fatto vedere per costruire una base ortognoale, non è vero che si giustifica con silvester..o almeno, con silvester la puoi giusrificare solo su un R-spazio..
Sì, hai ragione, tra le ipotesi di Sylvester c'è che V deve essere uno spazio vettoriale sui reali, questo passaggio mi era sfuggito, anche perché, per fortuna, praticamente tutti gli esercizi che facciamo trattano solo questo caso.
Grazie mille, se invece volessi sapere un metodo standard per sapere se esistono vettori isotropi non appartenenti al radicale come potrei fare? C'è qualche teorema o qualche proposizione che può aiutarmi, oppure ogni caso è a se stante?
Grazie mille, se invece volessi sapere un metodo standard per sapere se esistono vettori isotropi non appartenenti al radicale come potrei fare? C'è qualche teorema o qualche proposizione che può aiutarmi, oppure ogni caso è a se stante?
Mmmh.. se lo spazio vettoriale è su un campo a caratteristica 2 dovrebbero esserci sempre vettori isotropi se lo spazio vettoriale ha dimensione maggiore o uguale a 2..altrimenti serve conoscere l'indice di witt del prodotto scalare.. non ho idea di come si faccia, però posso dirti questo: se il tuo spazio vettoriale è su C e ha dimensione maggiore o uguale a 2 allora di certo ci sono vettori isotropi, se invece è uno spazio vettoriale su R ci sono vettori isotropi se e solo se il prodotto scalare non è definito positivo o negativo.. nel caso di uno spazio vettoriale su un campo qualsiasi non ho idea di come farlo..
se vuoi delle dispense su witt basta k mi fai sapere =)
se vuoi delle dispense su witt basta k mi fai sapere =)
Grazie mille, ho dato un'occhiata a Witt su google ma mi sembra una cosa un po' troppo complicata per me, penso che la soluzione migliore sia cercare la forma quadratica associata alla forma bilineare e vedere cosa salta fuori 
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