Forme bilineari simmetriche definite positive
Siano $g!=g'$ due forme bilineari simmetriche definite positive su $RR^n$. Mostrare che esiste una base ortogonale per entrambe, ma non esiste una base ortonormale per entrambe.
Allora io ho proceduto così:
Per induzione su $dimV$, se $dimV=1$ allora niente da dire. Procediamo con $dimV>1$:
Siccome sono entrambe definite positive prendo un vettore $v_1!=0inRR^n$, si ha che $g(v_1,v_1)!=0$ e $g'(v_1,v_1)!=0$.
Siccome definite positive (e quindi $g|_{span{v_1}}$ e $g'|_{span{v_1}}$ definite positive e quindi non degeneri) allora $RR^n=span{v_1}\oplus span{v_1}^⊥$. Abbiamo quindi che $g|_{span{v_1}^⊥}$ e $g'|_{span{v_1}^⊥}$ sono entrambe forme bilineari simmetriche definite positive e $dimspan{v_1}^⊥=dimV-1$ (dato che $g$ e $g'$ sono definite positive e quindi non degeneri). Quindi per induzione esiste una base ortogonale ${v_2,...,v_n}$ per $g|_{span{v_1}^⊥}$ e $g'|_{span{v_1}^⊥}$, da cui ${v_1,v_2,...,v_n}$ base ortogonale di $g$ e $g'$.
Ora prendiamo una qualunque base ortogonale ${v_1,v_2,...,v_n}$ per $g$ e $g'$, siccome $g!=g'$ allora $EEv_i$ tale che $g(v_i,v_i)!=g'(v_i,v_i)$. Da questo ne consegue che le norme di $v_i$ rispetto a $g$ e $g'$ sono diverse e quindi non esiste una base ortonormale per entrambe.
Vorrei sapere se tutto giusto come ho ragionato, grazie.
Allora io ho proceduto così:
Per induzione su $dimV$, se $dimV=1$ allora niente da dire. Procediamo con $dimV>1$:
Siccome sono entrambe definite positive prendo un vettore $v_1!=0inRR^n$, si ha che $g(v_1,v_1)!=0$ e $g'(v_1,v_1)!=0$.
Siccome definite positive (e quindi $g|_{span{v_1}}$ e $g'|_{span{v_1}}$ definite positive e quindi non degeneri) allora $RR^n=span{v_1}\oplus span{v_1}^⊥$. Abbiamo quindi che $g|_{span{v_1}^⊥}$ e $g'|_{span{v_1}^⊥}$ sono entrambe forme bilineari simmetriche definite positive e $dimspan{v_1}^⊥=dimV-1$ (dato che $g$ e $g'$ sono definite positive e quindi non degeneri). Quindi per induzione esiste una base ortogonale ${v_2,...,v_n}$ per $g|_{span{v_1}^⊥}$ e $g'|_{span{v_1}^⊥}$, da cui ${v_1,v_2,...,v_n}$ base ortogonale di $g$ e $g'$.
Ora prendiamo una qualunque base ortogonale ${v_1,v_2,...,v_n}$ per $g$ e $g'$, siccome $g!=g'$ allora $EEv_i$ tale che $g(v_i,v_i)!=g'(v_i,v_i)$. Da questo ne consegue che le norme di $v_i$ rispetto a $g$ e $g'$ sono diverse e quindi non esiste una base ortonormale per entrambe.
Vorrei sapere se tutto giusto come ho ragionato, grazie.
Risposte
Ma la definizione di [tex]\langle v_1 \rangle^{\perp}[/tex] non dipende dalla forma?
Fai prima ad usare il teorema spettrale.
Fai prima ad usare il teorema spettrale.
https://poisson.phc.dm.unipi.it/~mezzedimi/GAAL.pdf
pagina 125, teorema di ortogonalizzazione simultanea
pagina 125, teorema di ortogonalizzazione simultanea
"Martino":
Ma la definizione di [tex]\langle v_1 \rangle^{\perp}[/tex] non dipende dalla forma?
Infatti io attraverso l'ipotesi induttiva trovo una base ortogonale di [tex]\langle v_1 \rangle^{\perp}[/tex] che lo sia per entrambe, no?
"Lebesgue":
https://poisson.phc.dm.unipi.it/~mezzedimi/GAAL.pdf
pagina 125, teorema di ortogonalizzazione simultanea
A ok nel mio caso quindi siccome sono definite positive le due forme bilineari sono dei prodotti scalari e quindi posso usare il teorema spettrale.
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