Forme bilineari e simmetriche
Salve a tutti...sono nuova di questo sito e ho pensato di scrivere il mio problema di geometria 2:
Volevo chiedervi come faccio a trovare una base ortogonale rispetto ad una forma bilineare simmetrica? Io scrivo la matrice di tale forma bilineare e poi cosa devo fare?So esiste un metodo altenativo al teorema di Gram-Shmidt e volevo sapere se qualcuno era disponibile a darmi una mano!!Grazie mille!!!
Volevo chiedervi come faccio a trovare una base ortogonale rispetto ad una forma bilineare simmetrica? Io scrivo la matrice di tale forma bilineare e poi cosa devo fare?So esiste un metodo altenativo al teorema di Gram-Shmidt e volevo sapere se qualcuno era disponibile a darmi una mano!!Grazie mille!!!
Risposte
Ciao,
allora, il teorema di Gram-Schmidt, sarebbe un algoritmo che si utilizza per ottenere un insieme di vettori ortogonali partendo da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo....e come saprai un prodotto scalare su uno spazio vettoriale $V$ è una forma bilineare simmetrica, che associa a due vettori $v$ e $w$ di $V$ uno scalare in $K$.
Bene detto questo l'algoritmo è:
prendiamo due vettori $v_1$ e $v_2$
definiamo proiezione ortogonale ($pj$) di un generico vettore $v$ su $u$ la seguente:
$pj_(u) v= (u*v)/(u*u)*u$
ora si porra:
$u_1=v_1$ e $u_2=v_2-pj_(u1) v_2$
i vettori $u_1$ e $u_2$ così ottenuti saranno ortogonali tra loro.
allora, il teorema di Gram-Schmidt, sarebbe un algoritmo che si utilizza per ottenere un insieme di vettori ortogonali partendo da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo....e come saprai un prodotto scalare su uno spazio vettoriale $V$ è una forma bilineare simmetrica, che associa a due vettori $v$ e $w$ di $V$ uno scalare in $K$.
Bene detto questo l'algoritmo è:
prendiamo due vettori $v_1$ e $v_2$
definiamo proiezione ortogonale ($pj$) di un generico vettore $v$ su $u$ la seguente:
$pj_(u) v= (u*v)/(u*u)*u$
ora si porra:
$u_1=v_1$ e $u_2=v_2-pj_(u1) v_2$
i vettori $u_1$ e $u_2$ così ottenuti saranno ortogonali tra loro.
grazie mille della risposta...Dopo provo a risolvere un tema d'esame e se dovessi avere problemi magari tti chiedo ancora aiuto!!!
Segnalo una cosa a cui fare attenzione: il metodo a cui fa riferimento Alexp può non funzionare per una qualsiasi forma bilineare simmetrica. In generale niente garantisce che il termine $u*u$ sia non nullo; nello specifico del post di Alexp questo succede grazie all'ipotesi che $*$ sia definito positivo. Altrimenti può capitare che $u*u=0$, come ad esempio per la forma bilineare su $RR^2$
$<< (x, y) ; (x',y') >>=xy+x'y'$ (quanto fa $<< (1, 0); (1, 0) >>$?), che pure è non degenere.
Non tutto è perduto, però: si può adattare un poco questo algoritmo per fare sì che funzioni con tutte le forme bilineari simmetriche. Qui (file "lezione3.mws" e "procedure.txt") c'è una implementazione in Maple 8 di questo algoritmo con relativa spiegazione. (Naturalmente bisogna avere Maple installato... Se non ce l'hai vediamo di trovare una spiegazione da qualche altra parte).
$<< (x, y) ; (x',y') >>=xy+x'y'$ (quanto fa $<< (1, 0); (1, 0) >>$?), che pure è non degenere.
Non tutto è perduto, però: si può adattare un poco questo algoritmo per fare sì che funzioni con tutte le forme bilineari simmetriche. Qui (file "lezione3.mws" e "procedure.txt") c'è una implementazione in Maple 8 di questo algoritmo con relativa spiegazione. (Naturalmente bisogna avere Maple installato... Se non ce l'hai vediamo di trovare una spiegazione da qualche altra parte).
Per "glorietta"
Quanto dice "dissonance" è assolutamente vero.... infatti io nel mio post ti ho specificato:
.....perciò devi fare attenzione!
Quanto dice "dissonance" è assolutamente vero.... infatti io nel mio post ti ho specificato:
"Alexp":
il teorema di Gram-Schmidt, sarebbe un algoritmo che si utilizza per ottenere un insieme di vettori ortogonali partendo da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo.
.....perciò devi fare attenzione!
Ciao...Grazie mille della risposta...infatti se provi a guardare la discussione che ho scritto sulle basi ortogonali ho fatto riferimento al fatto che il teorema di Gram-Smidt si può utilazzare solo per prodotti scalari euclidei cioà forme bilineari simmetriche e definite positive. Li ho riportato un tema d'esame che ho iniziato a svolgere solo che mi blocco in tutti gli esercizi quando devo ricercare una base ortogonale.Grazie ancora.
"dissonance":
Non tutto è perduto, però: si può adattare un poco questo algoritmo per fare sì che funzioni con tutte le forme bilineari simmetriche. Qui (file "lezione3.mws" e "procedure.txt") c'è una implementazione in Maple 8 di questo algoritmo con relativa spiegazione. (Naturalmente bisogna avere Maple installato... Se non ce l'hai vediamo di trovare una spiegazione da qualche altra parte).
Sono interessato anche io a questa parte... ma non possiedo Maple. Hai qualche link relativo a questo algoritmo, o per lo meno ciò che cambia rispetto all'idea di fondo di grahm-schmidt?
Ciao Ska nemmeno io non ho maple e infatti cerco un procedimento alternativo al metodo di Gram- Smidt quando le forme bilineari non sono definite positive. Purtroppo io non conosco un metodo alternativo. Spero ci sappiano rispondere i moderatori!!!!Ciao
Purtroppo al momento mi è difficile spiegarmi con la massima precisione. Cerco di dare almeno l'idea. Sia $V$ un $K$-spazio vettoriale di dimensione $n$, $b:VtimesV\toK$ una forma bilineare simmetrica. Indico con $q$ la forma quadratica associata. Ricordo la formula "di polarizzazione":
(*)$1/2b(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w),\ forallv,w\inV$.
Supponiamo di essere riusciti a effettuare $k$ iterazioni dell'algoritmo di Gram-Schmidt, ottenendo i vettori $v_1...v_k$, ma purtroppo risulta $b(v_k,v_k)=0$ ($v_k$ è isotropo). Siano ${e_{k+1}...e_n}$ complementari di $v_1...v_k$ (i vettori non ancora "processati" da Gram-Schmidt). Indico con $b'$ la restrizione di $b$ allo spazio generato da $v_k, e_{k+1},...,e_n$, e con $q'$ la forma quadratica associata. Risulta che $q'(v_k)=0$. Se $q'(e_I+e_j)=0$ per $i,j=k+1,...,n$ allora dalla formula (*) segue che $b'=0$ identicamente. Quindi l'algoritmo può arrestarsi.
Altrimenti siano $i
So di non essere stato molto chiaro... La dimostrazione puramente matematica della validità di questo algoritmo è roba di due righe, si può trovare ad esempio nel Sernesi 1, capitolo sulle forme bilineari. Ma (IMHO) uno non può dire di avere capito a fondo l'algebra lineare finito-dimensionale finché non ne ha assaggiato la natura algoritmica, ecco perché ho consigliato un foglio di lavoro Maple. Comunque se dovesse servire posso provare a spiegarmi in modo più dettagliato.
P.S.: Nel testo sopra ho supposto che il campo $K$ abbia caratteristica diversa da $2$. Altrimenti non funziona più nulla, penso che qualcuno più esperto di me in algebra troverà facilmente un controesempio.
(*)$1/2b(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w),\ forallv,w\inV$.
Supponiamo di essere riusciti a effettuare $k$ iterazioni dell'algoritmo di Gram-Schmidt, ottenendo i vettori $v_1...v_k$, ma purtroppo risulta $b(v_k,v_k)=0$ ($v_k$ è isotropo). Siano ${e_{k+1}...e_n}$ complementari di $v_1...v_k$ (i vettori non ancora "processati" da Gram-Schmidt). Indico con $b'$ la restrizione di $b$ allo spazio generato da $v_k, e_{k+1},...,e_n$, e con $q'$ la forma quadratica associata. Risulta che $q'(v_k)=0$. Se $q'(e_I+e_j)=0$ per $i,j=k+1,...,n$ allora dalla formula (*) segue che $b'=0$ identicamente. Quindi l'algoritmo può arrestarsi.
Altrimenti siano $i
So di non essere stato molto chiaro... La dimostrazione puramente matematica della validità di questo algoritmo è roba di due righe, si può trovare ad esempio nel Sernesi 1, capitolo sulle forme bilineari. Ma (IMHO) uno non può dire di avere capito a fondo l'algebra lineare finito-dimensionale finché non ne ha assaggiato la natura algoritmica, ecco perché ho consigliato un foglio di lavoro Maple. Comunque se dovesse servire posso provare a spiegarmi in modo più dettagliato.
P.S.: Nel testo sopra ho supposto che il campo $K$ abbia caratteristica diversa da $2$. Altrimenti non funziona più nulla, penso che qualcuno più esperto di me in algebra troverà facilmente un controesempio.
Purtroppo ho da presentare un altro tema d'esame sulle forme bilineari che mi creano qualche problema.
Data la matrice
A= $((1,k,1),(k,1,h-1),(h,0,1))$
dove h, k sono parametri reali.
1. Determinare i valori di h e k per cui la forma è bilineare e simmetrica.
Allora io ho pensato, dato che $a_{12}$ = $a_{21}$ , $a_{13}$ =$a_{31}$ e $a_{23}$ =$a_{32}$ si vede chiaramente che h vale 1. Poi vado a sostituire h all'interno della matrice e verifico quanto vale k tramite il determinante.
2. per ciascuno dei valori determinati al punto precedente stabilire se la forma bilineare simmetrica è degenere e se è definita, semidefinita o indefinita.
In questo punto ho pensato di andare a calcolare il determinante e se quest'ultimo risulta = 0 allora la forma bilineare è simmetrica. Mentre per vedere se è definita, semidefinita o indefinita faccio utilizzo del polinmio caratteristico e vado a verificare come sono tutti gli autovalori che mi permettono di dire com'è la forma bilineare.
3. Posto ora h=1 e k=0:
determinare una base ortogonale rispetto alla forma bilineare.
Come devo fare???????Grazie mille.
Data la matrice
A= $((1,k,1),(k,1,h-1),(h,0,1))$
dove h, k sono parametri reali.
1. Determinare i valori di h e k per cui la forma è bilineare e simmetrica.
Allora io ho pensato, dato che $a_{12}$ = $a_{21}$ , $a_{13}$ =$a_{31}$ e $a_{23}$ =$a_{32}$ si vede chiaramente che h vale 1. Poi vado a sostituire h all'interno della matrice e verifico quanto vale k tramite il determinante.
2. per ciascuno dei valori determinati al punto precedente stabilire se la forma bilineare simmetrica è degenere e se è definita, semidefinita o indefinita.
In questo punto ho pensato di andare a calcolare il determinante e se quest'ultimo risulta = 0 allora la forma bilineare è simmetrica. Mentre per vedere se è definita, semidefinita o indefinita faccio utilizzo del polinmio caratteristico e vado a verificare come sono tutti gli autovalori che mi permettono di dire com'è la forma bilineare.
3. Posto ora h=1 e k=0:
determinare una base ortogonale rispetto alla forma bilineare.
Come devo fare???????Grazie mille.
Se non vado errando....se $A$ è una matrice simmetrica e reale, allora gli autospazi risultano ortogonali e di dimensione
uguale alla molteplicità degli autovalori; perciò se ti trovi gli autovettori, hai in mano una base otogonale.
uguale alla molteplicità degli autovalori; perciò se ti trovi gli autovettori, hai in mano una base otogonale.
Grazie Alex per la risposta. Però c'è una cosa che non mi è chiara. Questo procedimento è possibile farlo solo con matrici simmetriche??Perchè in aula sono stati svolti un paio di esercizi sulle basi ortogonali dove si prendevano i vettori della base canonica, si q(v,v) e si verifica che essi non siano isotropi e fino a qua il procedimento l'ho capito. Dopodichè mi perdo!!!
"Alexp":
Se non vado errando....se $A$ è una matrice simmetrica e reale, allora gli autospazi risultano ortogonali e di dimensione
uguale alla molteplicità degli autovalori; perciò se ti trovi gli autovettori, hai in mano una base otogonale.
Una puntualizzazione:
non basta trovare una base di autovettori per essere sicuri che essi siano ortogonali a due a due.
Esempio (molto semplice):
$A=((1,0),(0,1))$
($A$ è simmetrica..)
se prendi la base
$beta = {((1),(0)),((1),(1))}$
come puoi vedere i due vettori sono autovettori ma non sono ortogonali.
In generale, autospazi relativi ad autovalori distinti sono automaticamente
ortogonali, ma all'interno di ogni autospazio dobbiamo stare attenti:
spesso c'è bisogno di una ortogonalizzazione sui generatori che vengono calcolati.
Si è vero quello che dice "franced", ossia che in generale gli autospazi relativi ad autovalori distinti sono ortogonali, in altri casi no....però nel tuo caso specifico, sei fortunata perchè la matrice ammette tre autovalori distinti che dovrebbero essere: $\lambda_1=0$, $\lambda_2=1$ e $\lambda_3=2$...ciao.
Si infatti ho fatto il calcolo degli autovalori e mi sono risultati proprio uguali ai tuoi Alex. Ora provo a risolvere l'esercizio e poi lo scrivo per farvi vedere se l'ho fatto giusto!!!Grazie per l'aiuto!!!
Allora gli autovalori mi sisultano 0, 1 e 2 quindi deduco che sono tre autovalori distinti e che entrambi hanno $m_g$ ($\lambda$)
Per $lambda=1$
$((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$ $|(x),(y),(z)|$ = $|(0),(0),(0)|$
Adesso scrivo il sistema che equivale a:
$\{(z = 0),(y = y),(x = 0):}$ , il relativo autospazio associato risulta L=(0 , 1, 0);
per $lambda=0$
$((1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$ $|(x),(y),(z)|$ = $|(0),(0),(0)|$
il sistema associato è :
$\{(x + z = 0),(y = 0),(z = z):}$, il relativo autospazio è L= (-1 , 0, 1);
per $lambda=2$
$((-1,0,1),(0,-1,0),(1,0,-1))$ $|(x),(y),(z)|$ = $|(0),(0),(0)|$
Il relativo sistema associato è:
$\{(-x + z = 0),(y = 0),(z = z):}$, l'autospazio risulta L=(1 ; 0; 1 )
Quindi vuol dire che la base cercata è: B= (0, 1, 0) , (-1, 0, 1), (1, 0 , 1)???
Per $lambda=1$
$((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$ $|(x),(y),(z)|$ = $|(0),(0),(0)|$
Adesso scrivo il sistema che equivale a:
$\{(z = 0),(y = y),(x = 0):}$ , il relativo autospazio associato risulta L=(0 , 1, 0);
per $lambda=0$
$((1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$ $|(x),(y),(z)|$ = $|(0),(0),(0)|$
il sistema associato è :
$\{(x + z = 0),(y = 0),(z = z):}$, il relativo autospazio è L= (-1 , 0, 1);
per $lambda=2$
$((-1,0,1),(0,-1,0),(1,0,-1))$ $|(x),(y),(z)|$ = $|(0),(0),(0)|$
Il relativo sistema associato è:
$\{(-x + z = 0),(y = 0),(z = z):}$, l'autospazio risulta L=(1 ; 0; 1 )
Quindi vuol dire che la base cercata è: B= (0, 1, 0) , (-1, 0, 1), (1, 0 , 1)???
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