Forme bilineari e quadratiche
Buongiorno a tutti!!! Devo risolvere il seguente esercizio:
"Si consideri la funzione: $ f: RR ^(2,2) x RR ^(2,2) rarr RR $ $ (A,B) rarr f(A,B) = tr(^tA ^(t)P B) $ con $ P in RR^(2,2) $ .
($ tr(A)= $traccia di A $^t(A)=$trasposta di A)
1. Verificare che "f" è una forma bilineare.
2. Dimostrare, usando le proprietà della traccia e della trasposta di una matrice, che $f$ é una forma bilineare simmetrica se e solo se $P$ è una matrice simmetrica.
3. Posto: $ P= ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) $ verificare che rispetto alla base canonica di $RR^(2,2)$ la forma quadratica $Q$ associata a $f$ è data da:
$ Q(X) = -2x_1x_3 - 2x_2x_4 $ con $ X( ( x_1 , x_2 ),( x_3 , x_4 ) ) $ .
4. Classificare $Q$; determinarne una forma canonica e una base di $RR^(2,2)$ rispetto alla quale $Q$ si scrive in forma canonica."
Ora, sui primi tre punti non ho avuto problemi! Però non so come si faccia il quarto quindi vi chiedo di aiutarmi in modo da capire una volta per tutte come risolvere questo tipo di esercizio.
Allora, ho stabilito subito che $Q$ è indefinita poiché, molto banalmente, se tutti gli elementi di $X$ sono positivi $Q$ è negativa, se tutti negativi positiva. Ora controllerei se è degenere, ossia se la matrice associata ha determinante nullo, e cercherei la segnatura ma come faccio a trovare la matrice associata? E come trovo la forma canonica e la base? Per favore, aiutatemi!
"Si consideri la funzione: $ f: RR ^(2,2) x RR ^(2,2) rarr RR $ $ (A,B) rarr f(A,B) = tr(^tA ^(t)P B) $ con $ P in RR^(2,2) $ .
($ tr(A)= $traccia di A $^t(A)=$trasposta di A)
1. Verificare che "f" è una forma bilineare.
2. Dimostrare, usando le proprietà della traccia e della trasposta di una matrice, che $f$ é una forma bilineare simmetrica se e solo se $P$ è una matrice simmetrica.
3. Posto: $ P= ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) $ verificare che rispetto alla base canonica di $RR^(2,2)$ la forma quadratica $Q$ associata a $f$ è data da:
$ Q(X) = -2x_1x_3 - 2x_2x_4 $ con $ X( ( x_1 , x_2 ),( x_3 , x_4 ) ) $ .
4. Classificare $Q$; determinarne una forma canonica e una base di $RR^(2,2)$ rispetto alla quale $Q$ si scrive in forma canonica."
Ora, sui primi tre punti non ho avuto problemi! Però non so come si faccia il quarto quindi vi chiedo di aiutarmi in modo da capire una volta per tutte come risolvere questo tipo di esercizio.
Allora, ho stabilito subito che $Q$ è indefinita poiché, molto banalmente, se tutti gli elementi di $X$ sono positivi $Q$ è negativa, se tutti negativi positiva. Ora controllerei se è degenere, ossia se la matrice associata ha determinante nullo, e cercherei la segnatura ma come faccio a trovare la matrice associata? E come trovo la forma canonica e la base? Per favore, aiutatemi!
Risposte
Sono riuscita a risolvere comunque, grazie lo stesso!
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