Forme bilineari...

[G.G211]

Se ho una forma bilineare simmetrica non degenere su $RR^(4)$ come faccio a sapere se esistono sottospazi vettoriali bidimensionali di $RR^(4)$ formati solamente da vettori isotropi?

Ho pensato di utilizzare un lemma che afferma che se $B$ è una forma bilineare simmetrica non degenere allora esistono vettori non isotropi, ma dovrei dimostrare che su qualsiasi sottospazio bidimensionale di $RR^(4)$ quella forma è non degenere e non so come fare... Grazie per l'aiuto!

[G.G211]

la matrice associata alla forma bilineare è questa: $((1,2,0,0),(2,1,0,0),(0,0,3,5),(0,0,5,3))$

[dissonance]

"G.G":dovrei dimostrare che su qualsiasi sottospazio bidimensionale di $RR^(4)$ quella forma è non degenere e non so come fare... Grazie per l'aiuto!

Questo certamente non è vero in generale. Voglio dire, esistono forme bilineari simmetriche non degeneri che però degenerano se ristrette a sottospazi di dimensione 2. Prendiamo ad esempio la forma su $RR^4$

$b(x, y) = (x_1, x_2, x_3, x_4) ((0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1,0,1,0), (0,1,0,1))((x_1), (x_2), (x_3), (x_4))$;

essa non è degenere, ma addirittura si annulla identicamente sul sottospazio bidimensionale ${y \in RR^4\ |\ y=(y_1, y_2, 0, 0), y_1, y_2 \in RR}$.

Non è naturalmente detto che questo fenomeno accada sempre. Sia infatti $b: RR^4 \times RR^4 \to RR$ una forma bilineare simmetrica priva di vettori isotropi. Allora non solo $b$ non è degenere, ma vale qualcosa di più forte: la restrizione di $b$ ad ogni sottospazio di $RR^4$ resta non degenere.

Difatti, sia $V$ un sottospazio di $RR^4$. Dire che $b|_V$ è non degenere significa provare la seguente implicazione:

se $x\in V$ è tale che $b(x, v)=0$ per ogni $v \in V$, allora $x=0$.

Ma questo è immediato, perché se $b(x, v)=0$ per ogni $v \in V$, in particolare deve essere $b(x,x)=0$ e di conseguenza o $x$ è isotropo oppure $x$ è nullo. Vettori isotropi non ce ne sono e quindi $x$ è nullo. ////

***

Naturalmente tutto ciò non serve al tuo problema. Per applicare questo discorso infatti dovresti sapere a priori che non ci sono vettori isotropi e questo è proprio quello che vuoi dimostrare. Quindi io direi che occorre affrontare il problema direttamente.

Io osserverei una lampante proprietà di struttura della tua forma: vedi, la sua matrice è diagonale a blocchi. Quindi, se decomponi $v=[v_1, v_2, v_3, v_4]=[(v_1, v_2); (v_3, v_4)]=[v'_1, v'_2]$, hai che

$b(v, v)=q_1(v'_1)+ q_2(v'_2)$

dove $q_1, q_2$ sono le forme quadratiche su $RR^2$ associate ai due blocchi. Queste sono forme 2x2 e quindi ci si può giocare senza perdersi in conti laboriosi. Per esempio: $q_1, q_2$ ammettono vettori isotropi? Direi di si.

Domanda 1: Perché riesco a dirlo senza fare (molti) conti?

Domanda 2: Siano dunque $v'_1, v'_2$ vettori isotropi relativi a $q_1, q_2$ rispettivamente. Cosa si può dire di $v_1=[v'_1; 0, 0], v_2= [0, 0; v'_2] \in RR^4$?

[G.G211]

Ok ho provato a calcolare i vettori isotropi di $q_1 $ e $q_2$ ed esistono. Ad esempio se non sbaglio il vettore $v_1'=$ $((1), (-2+sqrt(3)))$ è un vettore isotropo per $q_1$ e il vettore $ v_1=$ $((v_1'),(0),(0))$ è ancora isotropo su $RR^(4)$

[G.G211]

Quindi forse potrei dire che se un vettore $v_1'$ è isotropo su $q_1$ allora il vettore $((v_1'),(0),(0))$ è isotropo anche sulla forma bilineare in $RR^(4)$. Di conseguenza se un vettore del tipo $v=((v_1),(v_2),(0),(0))$ è non isotropo su $RR^(4)$ allora sarà non isotropo su $q_1$ quindi forse è sufficiente determinare l'esistenza di vettori non isotropi su $RR^(4)$ della forma $((v_1),(v_2),(0),(0))$. Poi dovrei fare lo stesso relativamente a $q_2$..
Può andare come idea o è un disastro?

[dissonance]

è un disastro?

No, non è un disastro, però fai confusione.

Allora, abbiamo capito che ci sono vettori $v_1, v_2 in RR^2$ isotropi per $q_1, q_2$ rispettivamente. Tu li hai calcolati esplicitamente: non ce n'era bisogno e se vuoi dopo ne riparliamo, ma adesso vediamo di chiudere l'esercizio.

Cerchiamo di capire che cosa vogliamo dimostrare. Stiamo cercando di dimostrare che esistono dei piani vettoriali di $RR^4$ formati da vettori isotropi per $q$. Ora osserviamo come è strutturata la nostra forma quadratica $q$: se un vettore $x$ di $RR^4$ è partizionato in due blocchi $x=[x'_1, x'_2]$ (NOTA BENE: $x'_1, x'_2$ sono vettori di $RR^2$. Un fisico li scriverebbe in grassetto o ci metterebbe sopra una freccetta, noi ne facciamo a meno ma cerchiamo di non confonderci) allora

$q(x)=q_1(x'_1)+q_2(x'_2)$.

Ma allora, posto $w_1=[v'_1, 0, 0], w_2=[0, 0, v'_2]$, cosa possiamo dire di $q(w_1), q(w_2)$? Inoltre, questa coppia di vettori $w_1, w_2$ ha una proprietà algebrica molto importante... quale? In conclusione, il sottospazio vettoriale da essi generato è...