Forme bilineari
Ciao! Potreste darmi una spiegazione delle forme bilineari per favore? Con particolare riguardo alla matrice associata (quella proprio non la capisco) ad un'applicazione bilineare. Siete liberi di usare qualsiasi esempio! Grazie!
Risposte
Cosa non ti è chiaro? Puoi essere più specifico?
E' più facile se provo a spiegare ciò che ho capito... Una forma bilineare è una funzione che associa un prodotto fra due spazi uguali ad un altro spazio? questo è ciò che ho capito dalla definizione (b:VxV->K). Poi la matrice associata ad un'applicazione lineare non ho capito NIENTE. C'è a cosa mi serve? Come la trovo soprattutto?
@Mandiatutti,
se fosse solo questo non si chiamerebbe forma bilineare..
per completezza ti scrivo le def di seguito (almeno per come le ho viste io nei miei studi dal testo "Corso di Geometria" di Marius Ion Stoka e dagli appunti del mio docente Vincenzo Pipitone):
passiamo alla matrice associata ad una forma bilineare
la matrice associata ad una applicazione lineare se non erro l'hai già usata, per esempio negli esercizi con un endomorfismo (applicazione lineare) associando ad esso la matrice..
ricordi? 
se ricordi, puoi capire a cosa ti serve.. 
Per quanto riguarda:
nei miei studi non ho mai incontrato una simile matrice, potrei azzardare a dirti che forse è possibili estendere la def che si usa per la matrice associata ad un omomorfismo (cmq sono curioso, aspetto come te conferma da qualche matematico/esperto )
Saluti
P.S.= Mi aspetto già qualche critica per le notazioni (perdonatemi, alle volte è più forte di me 
)
"Mandiatutti":
Ciao! Potreste darmi una spiegazione delle forme bilineari per favore?
"Mandiatutti":
E' più facile se provo a spiegare ciò che ho capito... Una forma bilineare è una funzione che associa un prodotto fra due spazi uguali ad un altro spazio? questo è ciò che ho capito dalla definizione (b:VxV->K).
se fosse solo questo non si chiamerebbe forma bilineare..
per completezza ti scrivo le def di seguito (almeno per come le ho viste io nei miei studi dal testo "Corso di Geometria" di Marius Ion Stoka e dagli appunti del mio docente Vincenzo Pipitone):siano dati:
\(E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \)
\(F \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_F \) e \( \cdot_F \)
\(G \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_G \) e \( \cdot_G \)
\( \mathfrak{f}:(E \times F) \to G \)
dicesi che \( \mathfrak{f} \) è applicazione bilineare di \( (E \times F) \) in \( G \) su \( K \) se $$\mathfrak{f}(a+_E b,c)=\mathfrak{f}(a,b)+_G\mathfrak{f}(b,c), \forall a,b \in E, c \in F$$ $$\mathfrak{f}(a,b+_Fc)=\mathfrak{f}(a,b)+_G\mathfrak{f}(a,c), \forall a \in E,b,c \in F$$ $$\mathfrak{f}(r\cdot_Ea,b)=\mathfrak{f}(a,r\cdot_Fb)=r \cdot_G\mathfrak{f}(a,b), \forall a \in E, b \in F, r \in K$$
sia dati:
\(E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \)
\(F \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_F \) e \( \cdot_F \)
\(G \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_G \) e \( \cdot_G \)
\( \mathfrak{f}:(E \times F) \to G \), ove \( \mathfrak{f} \) è applicazione bilineare di \( (E \times F) \) in \( G \) su \( K \)
dicesi che \( \mathfrak{f}\) è forma bilineare su \( (E \times F) \) se \( G=K \)
sia dati:
\(E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \)
\(F \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_F \) e \( \cdot_F \)
\(G \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_G \) e \( \cdot_G \)
\( \mathfrak{f}:(E \times F) \to G \), ove \( \mathfrak{f} \) è applicazione bilineare di \( (E \times F) \) in \( G \) su \( K \)
dicesi che \( \mathfrak{f}:(E \times F) \to G \) è forma bilineare su \( E\) se \( E=F \) e \( \mathfrak{f}\) è forma bilineare su \( (E \times F) \)
passiamo alla matrice associata ad una forma bilineare
siano dati
\( f \in \mathscr{B}((E\times F), K ) \)
\( r:=(r_1,r_2,...,r_m) \) una base per \( E \)
\( s:=(s_1,s_2,...,s_n) \) una base per \( F \)
\( A:=\begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{Vmatrix} \in \mathscr{M}_{m,n}(K) \)
dicesi che \( A \) è matrice associata ad \( f \) rispetto alle basi \(r \) ed \( s \) se
1) \( a_{11}=f(r_1,s_1) \wedge a_{21}=f(r_2,s_1) \wedge ... \wedge a_{m1}=f(r_m,s_1)\)
2) \( a_{12}=f(r_1,s_2) \wedge a_{22}=f(r_2,s_2\wedge ... \wedge a_{m2}=f(r_m,s_2)\)
...
...
n) \( a_{1n}=f(r_1,s_n) \wedge a_{2n}=f(r_2,s_n)\wedge ... \wedge a_{mn}=f(r_m,s_n)\)
o per farla breve: \(a_{ij}=f(r_i,s_j) \) con \(i=1,...,m;j=1,...,n\),
"Mandiatutti":
Poi la matrice associata ad un'applicazione lineare non ho capito NIENTE. C'è a cosa mi serve? Come la trovo soprattutto?
la matrice associata ad una applicazione lineare se non erro l'hai già usata, per esempio negli esercizi con un endomorfismo (applicazione lineare) associando ad esso la matrice..
ricordi? se ricordi, puoi capire a cosa ti serve.. Per quanto riguarda:
"Mandiatutti":
Con particolare riguardo alla matrice associata (quella proprio non la capisco) ad un'applicazione bilineare. Siete liberi di usare qualsiasi esempio! Grazie!
nei miei studi non ho mai incontrato una simile matrice, potrei azzardare a dirti che forse è possibili estendere la def che si usa per la matrice associata ad un omomorfismo (cmq sono curioso, aspetto come te conferma da qualche matematico/esperto
)Saluti
P.S.=
Mi aspetto già qualche critica per le notazioni (perdonatemi, alle volte è più forte di me )
non riesco a capire se ciò che tu indichi come \( + _E \) , \( \cdot _E \) e per gli atri rispettivi spazi, siano basi dello spazio oppure le operazioni definite in essi...
@Mandiatutti,
1) \( +_E \) e \( \cdot_E \) sono, rispettivamente, l'operazione interna binaria ovunque definita in \( E \) e l'operazione esterna binaria ovunque definita in \( E \) (ad operatori in \( K \) ) rispetto alle quali \( E \) risulta spazio vettoriale su \( K \)
2) \( +_F \) e \( \cdot_F \) sono, rispettivamente, l'operazione interna binaria ovunque definita in \( F \) e l'operazione esterna binaria ovunque definita in \( F \) (ad operatori in \( K \) ) rispetto alle quali \( F \) risulta spazio vettoriale su \( K \)
3) \( +_G \) e \( \cdot_G \) sono, rispettivamente, l'operazione interna binaria ovunque definita in \( G \) e l'operazione esterna binaria ovunque definita in \( G \) (ad operatori in \( K \) ) rispetto alle quali \( G \) risulta spazio vettoriale su \( K \)
Saluti
"Mandiatutti":
non riesco a capire se ciò che tu indichi come \( + _E \) , \( \cdot _E \) e per gli atri rispettivi spazi, siano basi dello spazio oppure le operazioni definite in essi...
1) \( +_E \) e \( \cdot_E \) sono, rispettivamente, l'operazione interna binaria ovunque definita in \( E \) e l'operazione esterna binaria ovunque definita in \( E \) (ad operatori in \( K \) ) rispetto alle quali \( E \) risulta spazio vettoriale su \( K \)
2) \( +_F \) e \( \cdot_F \) sono, rispettivamente, l'operazione interna binaria ovunque definita in \( F \) e l'operazione esterna binaria ovunque definita in \( F \) (ad operatori in \( K \) ) rispetto alle quali \( F \) risulta spazio vettoriale su \( K \)
3) \( +_G \) e \( \cdot_G \) sono, rispettivamente, l'operazione interna binaria ovunque definita in \( G \) e l'operazione esterna binaria ovunque definita in \( G \) (ad operatori in \( K \) ) rispetto alle quali \( G \) risulta spazio vettoriale su \( K \)
Saluti
Perfetto, ora mi concentro per capirla bene!
Comunque si, ho capito cosa possiamo fare con l'associata (nucleo, immagine...quindi suriettività, bigettività... quindi possiamo vedere se è diagonalizzabile... solite robe insomma), solamente che non avendo capito bene cosa fosse un'applicazione bilineare non mi sono azzardato a pensare che magari posso fare la stessa cosa con le applicazioni bilineari....
Comunque si, ho capito cosa possiamo fare con l'associata (nucleo, immagine...quindi suriettività, bigettività... quindi possiamo vedere se è diagonalizzabile... solite robe insomma), solamente che non avendo capito bene cosa fosse un'applicazione bilineare non mi sono azzardato a pensare che magari posso fare la stessa cosa con le applicazioni bilineari....
@Mandiatutti,
ho dimenticato di dire che
$$\mathscr{B}((E\times F), K ) $$
$$ \mathscr{M}_{m,n}(K) $$
sono rispettivamente l'insieme delle forme bilineri su \( (E \times F) \) e l'insieme delle matrici a \(m\)-righe e \(n\)-colonne a elementi in \(K \)...
Saluti
ho dimenticato di dire che
$$\mathscr{B}((E\times F), K ) $$
$$ \mathscr{M}_{m,n}(K) $$
sono rispettivamente l'insieme delle forme bilineri su \( (E \times F) \) e l'insieme delle matrici a \(m\)-righe e \(n\)-colonne a elementi in \(K \)...
Saluti
@garnak.olegovitc Ok! ci sono! Ho visto anche qualche esercizio e ho capito meglio le forme bilineari! Posso chiederti se mi puoi spiegare il processo di Gram-Schmidt con un esempio? Il mio professore mi richiede al massimo di trovare una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard...
P.s. Ho così tante domande perché sto studiando senza libro di testo, ho solamente gli appunti presi durante la lezione che però non sono abbastanza esaustivi...
P.s. Ho così tante domande perché sto studiando senza libro di testo, ho solamente gli appunti presi durante la lezione che però non sono abbastanza esaustivi...
@Mandiatutti,
ma come non usi nessun testo? Almeno qualche testo consigliato!? ....
P.S.=http://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizzazione_di_Gram-Schmidt
"Mandiatutti":
P.s. Ho così tante domande perché sto studiando senza libro di testo, ho solamente gli appunti presi durante la lezione che però non sono abbastanza esaustivi...
ma come non usi nessun testo? Almeno qualche testo consigliato!?
.... P.S.=http://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizzazione_di_Gram-Schmidt
Si si, il professore ci aveva consigliato un testo (di cui non ricordo il nome ), gli ho anche dato un'occhiata, ma non era adatto al mio corso (secondo me), anzi, direi così di ogni testo... Tutti i libri che ho guardato andavano troppo nello specifico, così mi sono detto, tanto vale che segua bene le lezioni e mi arrangi un po' con internet. Ho deciso di fare così perché non è lo scopo del corso vedere nel perfetto dettaglio (l'ho capito dopo poco tempo che seguivo confrontandomi con altre persone che seguivano lo stesso corso in università diverse). L'unico problema è che faccio il triplo della fatica a trovare le cose fatte bene, ma la parte positiva è che faccio solo ciò che mi serve e risparmiando anche sul libro di testo...
P.s. la teoria ce l'ho tutta sugli appunti, è la pratica che mi da un po' più di problemi non disponendo di esercizi svolti... Poi la teoria è facile da trovare online in caso...
), gli ho anche dato un'occhiata, ma non era adatto al mio corso (secondo me), anzi, direi così di ogni testo... Tutti i libri che ho guardato andavano troppo nello specifico, così mi sono detto, tanto vale che segua bene le lezioni e mi arrangi un po' con internet. Ho deciso di fare così perché non è lo scopo del corso vedere nel perfetto dettaglio (l'ho capito dopo poco tempo che seguivo confrontandomi con altre persone che seguivano lo stesso corso in università diverse). L'unico problema è che faccio il triplo della fatica a trovare le cose fatte bene, ma la parte positiva è che faccio solo ciò che mi serve e risparmiando anche sul libro di testo... P.s. la teoria ce l'ho tutta sugli appunti, è la pratica che mi da un po' più di problemi non disponendo di esercizi svolti... Poi la teoria è facile da trovare online in caso...
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