Forma simmetrica, antisimmetrica, alternante

[thedarkhero]

Una forma alternante è antisimmetrica, ovvero $g(v,v)=0AAv\inV=>g(v_1,v_2)=-g(v_2,v_1)AAv_1,v_2\inV$.
Come posso provarlo?

[blackbishop13]

$g(v_1,v_2)=-g(v_2,v_1)$ se

$g(v_1,v_2)+g(v_2,v_1)=0$

ovvero se $g(v_1+v_2,v_2+v_1)=0$ ...

[thedarkhero]

Che dimensione ha l'insieme delle forme bilineari $VxW->C$ se V e W hanno rispettivamente dimensione n ed m?
Una base potrebbe essere l'insieme delle applicazioni $g_(i,j)$ con $1<=i<=n$ e $1<=j<=m$ che vale 1 su $(v_i,w_j)$ e 0 altrimenti.
In tal caso la dimensione delle forme bilineari sarebbe $n*m$ (la stessa degli omomorfismi). C'è qualcosa che non va?

[blackbishop13]

sì mi sembra vada bene, non credo siano nascosti tranelli in questa domanda, qunidi la risposta che ci si aspetta dovrebbe essere quella giusta.

[thedarkhero]

Vediamo le forme bilineari alternanti (ovvero quelle tali che $g(v,v)=0AAv\inV$).
Una base potrebbe essere ${g_(i,j):1<=i<=n;1<=j<=n;i!=j}$ con $g_(i,j)$ definita come sopra.
In tal caso la dimensione delle forme bilineari alternanti sarebbe $n*n-n=n*(n-1)$.

Per quanto riguarda le forme bilineari simmetriche potrei scegliere come base ${g_(i,j):1<=i<=n;1<=j<=n}$ con $g_(i,j)=g_(j,i)$.
La dimensione risulta quindi $n*(n+1)/2$.

Analogamente per quanto riguarda le forme antisimmetriche con l'unica differenza nel fatto che $g_(i,j)=-g_(j,i)$.
La dimensione è quindi nuovamente $n*(n+1)/2$.

Queste valutazioni sono corrette?