Forma quadratica vincolata

[chiara.alongi99]

Ciao a tutti! Potreste aiutarmi per favore con questo esercizio e spiegarlo? Mi sareste molto di aiuto!
Considerate la seguente forma quadratica vincolata,
Q(x1,x2,x3)=
x1^2+x2^2+x3^2+4x1x3−2x1x2
s.t. (cosa vuol dire questo s.t.?) x1 + x2 + x3 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
Verificate se la suddetta forma quadratica vincolata é definita positiva, negativa o indefinita.

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Questo è il terzo thread ed ultimo che approvo anche se va palesemente contro il regolamento e la netiquette vigente.

Ti chiedo di leggere attentamente il [regolamento]regolamento1[/regolamento] e questo avviso, e di regolarti di conseguenza.
Ulteriori thread simili verranno chiusi.[/xdom]

Cosa hai provato?

[chiara.alongi99]

Io l'esercizio lo so fare per le forme quadratiche, il professore mi ha dato questo testo di esercizio senza fare forme quadratiche vincolate, ho paura anche a chiederglielo perché mi mangia viva sicuramente come ha fatto con altri, ho cercato su internet ma non si trova nulla, non so il significato della parola "vincolata". Per il resto so come si definisce una forma positiva ecc..

[dissonance]

ho paura a chiedere perché mi mangia

Questo è un grave problema. Devi poter chiedere liberamente ad un professore, è molto importante chiedere sempre ogni volta che si hanno dei dubbi. In questo caso, specialmente, hai un dubbio perfettamente legittimo: il professore DEVE avere dato una definizione precisa di "vincolata", altrimenti questo esercizio è privo di senso.

(Immagino che intenda che devi studiare la restrizione della forma quadratica assegnata al sottospazio descritto da quelle due equazioni, ma è solo il prof chi ha l'ultima parola qui).

[Bokonon]

Trova il modo (semplicissimo) per trasformare Q in $(x_1+x_2+x_3)^2 + blah = 0$ e sostituisci il vincolo.
La forma quadratica vincolata $blah$ che troverai sarà indefinita.

...e credimi, è la prima volta che vedo una forma vincolata...ma non per questo si entra in crisi!

[gugo82]

In primis: il timore del docente è una cavolata... Usualmente, i professori a ricevimento non "mangiano" nessuno.
E quando lo fanno hanno i loro ottimi motivi[nota]Usualmente i motivi sono due:

[*:mnaboegt] lo studente va lì a chiedere lo svolgimento degli esercizi e non ha studiato nemmeno mezza pagina di teoria; [/*:m:mnaboegt][*:mnaboegt] lo studente va lì a chiedere al docente di inserire qualsiasi richiesta assurda e/o ai limiti della legalità accademica riguardante un esame perché lui -lo studente- in quel giorno è in vacanza e non può sostenere/registrare l'esame[/*:m:mnaboegt][/list:u:mnaboegt][/nota].

In secundis, "s.t." di solito sta per such that, cioè "tale che".

Infine, come diceva dissonance, l'esercizio ti chiede quasi certamente di dire come si comporta la forma quadratica quando viene ristretta al sottospazio individuato dalle equazioni cartesiane:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 − x_3 = 0
\end{cases}\; .
\]
Quindi le seguenti domande sono d'obbligo (e d'aiuto per risolvere l'esercizio).
Com'è fatto il sottospazio individuato dalle equazioni? Che roba è?
Puoi determinare quali vettori vi appertengono? Oppure, puoi determinare equazioni che non siano quelle cartesiane di tale sottospazio?
Come puoi fare a restringere la forma quadratica $Q(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_3 − 2x_1x_2$ ai vettori del sottospazio che ti interessa?
Cosa viene fuori restringendo $Q$? Come fai a stabilire le proprietà della forma quadratica che ottieni?

[Bokonon]

"gugo82":
Infine, come diceva dissonance, l'esercizio ti chiede quasi certamente di dire come si comporta la forma quadratica quando viene ristretta al sottospazio individuato dalle equazioni cartesiane:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 − x_3 = 0
\end{cases}\; .
\]

Dubito che fossero due vincoli posti in contemporanea.

[gugo82]

Io credo di sì.

[Bokonon]

Io da statistico ragiono sulla verosimiglianza
Se davvero fossero da considerarsi entrambi i vincoli simultaneamente avremmo una matrice diagonale con un solo 4 e il resto zero.
Quindi sarebbe banale e soprattutto semidefinita positiva...che NON è fra le tre opzioni date

Comunque solo l'OP può dicerlo!