Forma quadratica su R4
Salve ragazzi,ho riscontrato un problema algebrico su questo esercizio:
La forma quadrata q su R^4 sai data da
q$((x1),(x2),(x3),(x4))$= $x_1^$ + $x_3^2$ + $2x_4^2$ + 2$x_1$$x_3$
1)Si scriva la matrice simmetrica A che rappresenta q nella base canonica di R^4
2)Si determinino gli indici di positività,negatività e nullità di q e si specifichi se q è degenere.
3)Si determinino una matrice ortogonale N e una matrice diagonale D tali che N^tAN=D
Alloram il primo punto l'ho risolto:
e mi esce la seguente matrice
A= $((1,0,1,0),(0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,2))$
Da qui posso togliere la seconda colonna e la seconda riga,visto che sono tutti zeri?oppure non si può fare?
Nel caso non si potesse fare vado a cercarmi i relativi autovalori con gli autospazi,e quindi concludere anhe il terzo punto che riesco a fare.
Nel secondo punto non riesco a calcolarmi gli indici di specificità...invece quando dice di verificare se è degenere o meno,basta vedere che il determinante è uguale a zero?o Sbaglio?
Help me
La forma quadrata q su R^4 sai data da
q$((x1),(x2),(x3),(x4))$= $x_1^$ + $x_3^2$ + $2x_4^2$ + 2$x_1$$x_3$
1)Si scriva la matrice simmetrica A che rappresenta q nella base canonica di R^4
2)Si determinino gli indici di positività,negatività e nullità di q e si specifichi se q è degenere.
3)Si determinino una matrice ortogonale N e una matrice diagonale D tali che N^tAN=D
Alloram il primo punto l'ho risolto:
e mi esce la seguente matrice
A= $((1,0,1,0),(0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,2))$
Da qui posso togliere la seconda colonna e la seconda riga,visto che sono tutti zeri?oppure non si può fare?
Nel caso non si potesse fare vado a cercarmi i relativi autovalori con gli autospazi,e quindi concludere anhe il terzo punto che riesco a fare.
Nel secondo punto non riesco a calcolarmi gli indici di specificità...invece quando dice di verificare se è degenere o meno,basta vedere che il determinante è uguale a zero?o Sbaglio?
Help me
Risposte
Ciao, purtroppo sulle forme quadratiche non ti posso aiutare, però posso darti una mano a trovare gli autovalori della matrice $$A = \begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}$$ Come sempre scriviamo la matrice $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}1-\lambda&0&1&0\\0&-\lambda&0&0\\1&0&1-\lambda&0\\0&0&0&2-\lambda\end{bmatrix}$$ e calcoliamo il suo determinante. Utilizziamo lo sviluppo di Laplace lungo l'ultima riga: $$\det\left[A-\lambda I\right] = \left(2-\lambda\right) \det \begin{bmatrix}1-\lambda&0&1\\0&-\lambda&0\\1&0&1-\lambda\end{bmatrix}$$ Ora possiamo utilizzare Sarrus oppure ancora Laplace lungo la seconda riga: $$\det\left[A-\lambda I\right] = \left(2-\lambda\right)\left(-\lambda\right)\left[\left(1-\lambda\right)^2-1\right]$$ Riconoscendo nell'ultimo fattore una differenza di quadrati, possiamo infine scrivere $$\det\left[A-\lambda I\right] = \left(2-\lambda\right)\left(-\lambda\right)\left(-\lambda\right)\left(2-\lambda\right) = \lambda^2\left(2-\lambda\right)^2.$$ Questo ci permette di leggere in modo molto semplice gli autovalori: sono $$\lambda_1 = 0 \qquad \qquad \lambda_2 = 2$$ entrambi con molteplicità algebrica pari a $2$.
okok ho capito,l'importante per me è sapere quali sono gli autovalori,perchè non mi uscivano..
Quindi togliere la seconda colonna e la seconda riga non si può fare anche se sono entrambe uguali
a (0,0,0,0)?
Per quando riguarda di verificare se è degenere o meno sai qualcosa a riguardo?Anche riguardo gli indici di positività e negatività
Quindi togliere la seconda colonna e la seconda riga non si può fare anche se sono entrambe uguali
a (0,0,0,0)?
Per quando riguarda di verificare se è degenere o meno sai qualcosa a riguardo?Anche riguardo gli indici di positività e negatività
Allora ho risolto così:prima ho messo l'autovalore 0 e quindi ho ottenuto il seguente sistema
A-$\lambda$I= $((1,0,1,0),(0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,2))$ * $((x1),(x2),(x3),(x4))$ =
da cui ottengo il sistema di equazioni :
x1+x3=0
x1+x3=0
x4=0
quindi ho ottenuto due basi che se non ho sbagliato dovrebbero essere :$((1),(0),(-1),(0))$ , $((0),(0),(1),(0))$
Stesso discorso con l'autovalore 2:
A-2$\lambda$I= $((-1,0,1,0),(0,-2,0,0),(1,0,-1,0),(0,0,0,0))$ * $((x1),(x2),(x3),(x4))$ =
da cui ottengo il sistema di equazioni:
x1=-x3
x4=0
x2=c
e quindi le due basi sono : $((1),(0),(1),(0))$ , $((0),(0),(0),(1))$
con la matrice finale che è :$((1,0,1,0),(0,0,0,0),(-1,1,1,0),(0,0,0,1))$
mi potete dire se ho sbagliato o meno?
Come faccio poi a ricavarmi una matrice ortogonale N e una matrice diagonale D tali che N^tAN=D
Dovrei dividere ogni base della matrice che ho ottenuto per la sua norma?
A-$\lambda$I= $((1,0,1,0),(0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,2))$ * $((x1),(x2),(x3),(x4))$ =
da cui ottengo il sistema di equazioni :
x1+x3=0
x1+x3=0
x4=0
quindi ho ottenuto due basi che se non ho sbagliato dovrebbero essere :$((1),(0),(-1),(0))$ , $((0),(0),(1),(0))$
Stesso discorso con l'autovalore 2:
A-2$\lambda$I= $((-1,0,1,0),(0,-2,0,0),(1,0,-1,0),(0,0,0,0))$ * $((x1),(x2),(x3),(x4))$ =
da cui ottengo il sistema di equazioni:
x1=-x3
x4=0
x2=c
e quindi le due basi sono : $((1),(0),(1),(0))$ , $((0),(0),(0),(1))$
con la matrice finale che è :$((1,0,1,0),(0,0,0,0),(-1,1,1,0),(0,0,0,1))$
mi potete dire se ho sbagliato o meno?
Come faccio poi a ricavarmi una matrice ortogonale N e una matrice diagonale D tali che N^tAN=D
Dovrei dividere ogni base della matrice che ho ottenuto per la sua norma?
Ragazzi,mi sapreste dire anche come si determinano gli indici di positività,negatività e nullità di q, e come vedere se la matrice è degenere.
Per gli indici devo vedere semplicemente gli autovalori sulla diagonale principale???
Per gli indici devo vedere semplicemente gli autovalori sulla diagonale principale???
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo