Forma quadratica degenere
Vi propongo questo esercizio perchè non ho trovato un metodo razionale di svolgimento.
Determinare i valori di $lambda$ e $mu$ per cui $A$ individui una forma quadratica $q$ degenere :
$A=((3,2lambda+1,mu^2+1),(lambda+2,0,1),(2mu+1,1,3))$
Calcolare il determinante non è la via migliore sicuramente, in quanto il polinomio che ne vien fuori è davvero impossibile...
Ho pensato che se due righe so proporzionali allora il rango è sicuramente $<=2$ e quindi ugualiando la seconda e la terza riga possa ricavarmi uno dei due parametri e sostituirlo all'altro. A quel punto avrei un polinomio in una sola indeterminata... Ma ancora non ho idea, neanche se funzioni effettivamente.
Voi avete idee di come agire?
Grazie
EDIT:correzione matrice
Determinare i valori di $lambda$ e $mu$ per cui $A$ individui una forma quadratica $q$ degenere :
$A=((3,2lambda+1,mu^2+1),(lambda+2,0,1),(2mu+1,1,3))$
Calcolare il determinante non è la via migliore sicuramente, in quanto il polinomio che ne vien fuori è davvero impossibile...
Ho pensato che se due righe so proporzionali allora il rango è sicuramente $<=2$ e quindi ugualiando la seconda e la terza riga possa ricavarmi uno dei due parametri e sostituirlo all'altro. A quel punto avrei un polinomio in una sola indeterminata... Ma ancora non ho idea, neanche se funzioni effettivamente.
Voi avete idee di come agire?
Grazie
EDIT:correzione matrice
Risposte
Purtroppo la tua idea non funziona perché la seconda e la terza riga saranno sempre linearmente indipendenti. Infatti il minore $|(0, 1), (2, 3)|$ è non nullo.
Qualche idea al volo, in ordine sparso:
1) prova a passare alla parte simmetrica $(A+A^T)/2$ di cui abbiamo parlato qualche giorno fa; la forma quadratica associata ad $A$ è la stessa forma associata alla parte simmetrica e può darsi che i conti siano più semplici;
2) se non vuoi calcolare il determinante, fai leva sul principio dei minori orlati.
So che non è granché come suggerimento, ma purtroppo non ho molto tempo per pensare a questo problema ora.
Ci sentiamo dopo.
Qualche idea al volo, in ordine sparso:
1) prova a passare alla parte simmetrica $(A+A^T)/2$ di cui abbiamo parlato qualche giorno fa; la forma quadratica associata ad $A$ è la stessa forma associata alla parte simmetrica e può darsi che i conti siano più semplici;
2) se non vuoi calcolare il determinante, fai leva sul principio dei minori orlati.
So che non è granché come suggerimento, ma purtroppo non ho molto tempo per pensare a questo problema ora.
Ci sentiamo dopo.
Ti ringrazio Dissonance... in realtà credo di aver trovato la soluzione.
Anche senon immagini mi hai detto la parolina illuminante...
La matrice di una forma quadratica deve essere simmetrica, pertanto basta porre $2lambda+1=lambda+2$ ed ottenere come unica soluzione $lambda=1$ e porre $mu^2+1=2mu+1=0$ ottengo da qui 2 soluzioni $mu=0$ che non va bene e $mu=2$ che invece è quella desiderata.
Ti ringrazio!
PS Perdonatemi ho sbagliato a scrivere la matrice in $A(3,2)$
Anche senon immagini mi hai detto la parolina illuminante...
La matrice di una forma quadratica deve essere simmetrica, pertanto basta porre $2lambda+1=lambda+2$ ed ottenere come unica soluzione $lambda=1$ e porre $mu^2+1=2mu+1=0$ ottengo da qui 2 soluzioni $mu=0$ che non va bene e $mu=2$ che invece è quella desiderata.
Ti ringrazio!
PS Perdonatemi ho sbagliato a scrivere la matrice in $A(3,2)$
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