Forma matriciale dell'eliminazione di Gauss, fattorizzazione
Ragazzi per ipotesi si ha un sistema $Ax = b$ attraverso $E.G$ $\downarrow$ si ottiene $Tx = c$ dove $T$ è sempre la matrice dei coefficienti ma ora è in forma triangolare superiore (potrebbe anche essere inferiore giusto? dipende dalle matrice elementari con cui la premoltiplichiamo?) Poi facendo $E.G \uparrow$ si ottiene una sorta di matrice diagonale, che può diventare attraverso operazioni opportune una matrice identità, per cui è più facile trovare l'unica soluzione, se appunto la matrice è non singolare. Qui non lo è perchè potendola scrivere come una matrice identità vuol dire che i suoi pivots sono non nulli, giusto? (Queste domande mi servivano per una conferma personale 
). Ora volevo chiedervi:
Se volessimo tornare indietro dalla matrice ottenuta con Gauss a quella di partenza, come è necessario fare? Se volessi farlo, non dalla matrice unità ottenuta con $E.G \uparrow$ (che mi sembra è anche detta forma canonica per righe, giusto? me lo confermate?), ma da $T$, bisogna riprendere tutte le operazione effettuate $(E_{ij}(k); Dig(...); P_{ij})$ al contrario? dall'ultima alla prima che ho usato, dove le $E$ cambiano il segno dello scalare.. ? e questo blocco lo devo moltiplicare a sinistra di $T$? Mi potete chiarire questi concetti? e quindi come si fattorizza?
Grazie mille
). Ora volevo chiedervi:Se volessimo tornare indietro dalla matrice ottenuta con Gauss a quella di partenza, come è necessario fare? Se volessi farlo, non dalla matrice unità ottenuta con $E.G \uparrow$ (che mi sembra è anche detta forma canonica per righe, giusto? me lo confermate?), ma da $T$, bisogna riprendere tutte le operazione effettuate $(E_{ij}(k); Dig(...); P_{ij})$ al contrario? dall'ultima alla prima che ho usato, dove le $E$ cambiano il segno dello scalare.. ? e questo blocco lo devo moltiplicare a sinistra di $T$? Mi potete chiarire questi concetti? e quindi come si fattorizza?
Grazie mille
Risposte
"smaug":
Se volessimo tornare indietro dalla matrice ottenuta con Gauss a quella di partenza,
Non si può.
Ma il mio libro dice di vedere come la matrice $T$ è ottenuta dalla $A$ in termini di prodotti fra matrici.... e la formula che non ho capito per questi motivi sopra elencati $P*A = L*D*U$ cosa è? il libro la chiama fattorizzazione....$P$ dice che è la matrice di permutazione, ma cosa è? nell'eliminazione di gauss cosa rappresenta?, $L$ è la matrice triangolare inferiore unipotente so cosa significa ma non da dove proviene, e $D$ matrice diagonale...ma come si fa a dire ciò?
Grazie
Grazie
"dissonance":
Non si può.
Hai detto che non si può perchè quando ci sono gli scambi di righe è impossibile?
Ah vabbé, così si, si puo. Lascia stare per un attimo gli scambi di righe, supponi che si possa completare l'algoritmo di Gauss senza farne neanche uno. Allora ogni mossa di algoritmo corrisponde alla moltiplicazione a sinistra (moltiplicare a sinistra corrisponde ad operare sulle righe, moltiplicare a destra sulle colonne - e noi vogliamo operare SOLO sulle righe) per una matrice elementare \(E_i\). Quindi alla fine della fiera avremo
\[E_{r}E_{r-1}\ldots E_1 A=U\]
con \(U\) triangolare superiore. Chiamiamo \(L=(E_{r}\ldots E_1)^{-1}\) e allora \(A=LU\). Tu dici: e vabbé ma chi è \(L\)? E' facile: siccome
\[L=E_1^{-1}E_2^{-1}\ldots E_r^{-1},\]
\(L\) è la matrice che si ottiene dall'identità applicando le mosse inverse dell'algoritmo di Gauss ma a ritroso.
PS: Questa cosa è spiegata bene sul Gallier: post388935.html#p388935
\[E_{r}E_{r-1}\ldots E_1 A=U\]
con \(U\) triangolare superiore. Chiamiamo \(L=(E_{r}\ldots E_1)^{-1}\) e allora \(A=LU\). Tu dici: e vabbé ma chi è \(L\)? E' facile: siccome
\[L=E_1^{-1}E_2^{-1}\ldots E_r^{-1},\]
\(L\) è la matrice che si ottiene dall'identità applicando le mosse inverse dell'algoritmo di Gauss ma a ritroso.
PS: Questa cosa è spiegata bene sul Gallier: post388935.html#p388935
"dissonance":
Ah vabbé, così si, si puo. Lascia stare per un attimo gli scambi di righe, supponi che si possa completare l'algoritmo di Gauss senza farne neanche uno. Allora ogni mossa di algoritmo corrisponde alla moltiplicazione a sinistra (moltiplicare a sinistra corrisponde ad operare sulle righe, moltiplicare a destra sulle colonne - e noi vogliamo operare SOLO sulle righe) per una matrice elementare \(E_i\). Quindi alla fine della fiera avremo
\[E_{r}E_{r-1}\ldots E_1 A=U\]
con \(U\) triangolare superiore. Chiamiamo \(L=(E_{r}\ldots E_1)^{-1}\) e allora \(A=LU\). Tu dici: e vabbé ma chi è \(L\)? E' facile: siccome
\[L=E_1^{-1}E_2^{-1}\ldots E_r^{-1},\]
\(L\) è la matrice che si ottiene dall'identità applicando le mosse inverse dell'algoritmo di Gauss ma a ritroso.
PS: Questa cosa è spiegata bene sul Gallier: post388935.html#p388935
Grazie mille credo di aver capito, se ho qualche dubbio posterò eventualmente di nuovo.
Una cosa ma quello che hai scritto, vale quando prima di fare l'algoritmo di Gauss, non si effettuano permutazioni sulle righe? e perchè con gli smabi di righe è impossibile?
No, non è che è impossibile, è solo che poi devi metterci pure delle matrici di permutazione e non mi ricordo bene come funziona l'algoritmo in questo caso. E' un po' più complicato ma il concetto chiaramente è sempre quello.
"dissonance":
No, non è che è impossibile, è solo che poi devi metterci pure delle matrici di permutazione e non mi ricordo bene come funziona l'algoritmo in questo caso. E' un po' più complicato ma il concetto chiaramente è sempre quello.
Grazie
Sto leggendo varie fonti, e su alcune ho capito che nella fattorizzazione le matrici elementari che operano sulle righe contengono il moltiplicatore con gli stessi indici ma cambiato di segno...perchè?
Questa tecnica è appunto detta decomposizione LU, e si può utilizzare anche per il calcolo del determinante (servendosi del teorema di Binet e del fatto che i determinanti di matrici elementari valgono \(\displaystyle 1 \), \(\displaystyle -1 \) oppure una costante).
Io non l'ho capita, questa domanda.
"smaug":
[...]
Sto leggendo varie fonti, e su alcune ho capito che nella fattorizzazione le matrici elementari che operano sulle righe contengono il moltiplicatore con gli stessi indici ma cambiato di segno...perchè?
Io non l'ho capita, questa domanda.
Ragazzi proviamo con un esempio, mi sto confondendo un pò. Il testo chiede di calcolare la fattorizzazione di gauss $P \A = L \D \U$ (dove P è la matrice di permutazione tale che Gauss può avvenire senza scambi di righe, come si trova?)
$ A = ((1,3,1),(3,9,4),(2,1,5))$
$ A = ((1,3,1),(3,9,4),(2,1,5))$
Chi è \(\displaystyle D \)?
Poi non credo che qualcuno abbia voglia di scrivere quella montagna di calcoli e passaggi. Io continuo a non capire i tuoi dubbi. Una decomposizione LU permette appunto di decomporre una matrice \(\displaystyle A \quad m \times n \) come prodotto tra una matrice triangolare inferiore \(\displaystyle L \) (che è ottenuta moltiplicando le singole matrici elementari) e una matrice a scala \(\displaystyle U \). Questa fattorizzazione esiste se e solo se \(\displaystyle A \) può essere ridotta a scala soltanto usando la seguente operazione: sostituzione di una riga con la somma della riga stessa con un multiplo di un'altra riga. Non tutte le matrici ammettono una fattorizzazione di questo tipo; invece, cambiando l'ordine delle righe, ogni matrice ammette una decomposizione LU. Lo scambio di righe a cui si è appena accennato è quantificato da una matrice di permutazione \(\displaystyle P \); quindi la matrice \(\displaystyle A'=PA \) non è niente altro che \(\displaystyle A \) con alcune righe scambiate.
Poi non credo che qualcuno abbia voglia di scrivere quella montagna di calcoli e passaggi. Io continuo a non capire i tuoi dubbi. Una decomposizione LU permette appunto di decomporre una matrice \(\displaystyle A \quad m \times n \) come prodotto tra una matrice triangolare inferiore \(\displaystyle L \) (che è ottenuta moltiplicando le singole matrici elementari) e una matrice a scala \(\displaystyle U \). Questa fattorizzazione esiste se e solo se \(\displaystyle A \) può essere ridotta a scala soltanto usando la seguente operazione: sostituzione di una riga con la somma della riga stessa con un multiplo di un'altra riga. Non tutte le matrici ammettono una fattorizzazione di questo tipo; invece, cambiando l'ordine delle righe, ogni matrice ammette una decomposizione LU. Lo scambio di righe a cui si è appena accennato è quantificato da una matrice di permutazione \(\displaystyle P \); quindi la matrice \(\displaystyle A'=PA \) non è niente altro che \(\displaystyle A \) con alcune righe scambiate.
D sarebbe una matrice diagonale con elementi sulla diagonale tutti non nulli.
Comunque mi è più chiaro, per oggi basta geometria, domani ci ritorno su, grazie mille ragazzi!
Comunque mi è più chiaro, per oggi basta geometria, domani ci ritorno su, grazie mille ragazzi!
Rispolvero un attimo il topic perché anche leggendo le risposte precedenti non mi è chiara una cosa.
Usare Guass per calcolare il determinante di $A$ significa, usando il Teorema di Binet, calcolare:
$det U = det A \prod_{i} det E_i$
dove $E_i$ sono le matrici elementari di Guass dei tre tipi e $U$ la triangolare superiore che ne risulta. E' vero che $EE E_i$ tc $det E_i != \pm 1$ ? Allora non è vero che $det A = det U$ a meno del segno. Dove sbaglio?
Usare Guass per calcolare il determinante di $A$ significa, usando il Teorema di Binet, calcolare:
$det U = det A \prod_{i} det E_i$
dove $E_i$ sono le matrici elementari di Guass dei tre tipi e $U$ la triangolare superiore che ne risulta. E' vero che $EE E_i$ tc $det E_i != \pm 1$ ? Allora non è vero che $det A = det U$ a meno del segno. Dove sbaglio?
Non sbagli. Infatti ti devi ricordare che operazioni hai fatto e modificare il determinante di conseguenza. Per esempio, se moltiplichi una riga per 2 il determinante raddoppia.
Ecco. Grazie mille.
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