Forma equazioni del piano
Buonasera a tutti,
non mi e' chiaro perché l' equazione del piano xy, e' : z = 0. L'equazione del piano non dovrebbe esprimere tutti i punti possibili del piano? Non capisco quindi perché manchino i termini in x e y. Non dovrebbe essere una cosa del tipo x + y = 0 con il termine z mancante essendo tutti i punti confinati nel piano xy? Cosa mi sfugge?
Grazie mille per il chiarimento.
non mi e' chiaro perché l' equazione del piano xy, e' : z = 0. L'equazione del piano non dovrebbe esprimere tutti i punti possibili del piano? Non capisco quindi perché manchino i termini in x e y. Non dovrebbe essere una cosa del tipo x + y = 0 con il termine z mancante essendo tutti i punti confinati nel piano xy? Cosa mi sfugge?
Grazie mille per il chiarimento.
Risposte
Allora l'equalzione $z=0$ va letta come $I={(x,y,z)\in R^3 : z=0}$, ovvero l'insieme dei punti di $R^3$ che soddisfa a $z=0$, quindi tutti i punti del tipo $(x,y,0)$, che è proprio il tuo piamo, se prendi $x+y=0$ trovi un piano che è perpendicolare al piano $xy$, ovvero $II={(x,y,z)\in R^3 : x+y=0 \Rightarrow x=-y}$ quindi i punti del tipo $(x,-x,z)$ che appunto non è il piano $xy$
Allora, l'equazione di un piano generico passante per un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ è : $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, con $v=(a,b,c)$ un vettore direzione ortogonale al piano.
Consideriamo quindi il piano $xy$, un suo possibile vettore direzione ortogonale è $v=(0,0,1)$, sostituendo quindi questo vettore nell'equazione e imponendo il passaggio per il punto $P(0,0,0)$ abbiamo:
$0*(x-0)+0*(y-0)+1*(z-0)=0$
Ossia:
$z=0$
Consideriamo quindi il piano $xy$, un suo possibile vettore direzione ortogonale è $v=(0,0,1)$, sostituendo quindi questo vettore nell'equazione e imponendo il passaggio per il punto $P(0,0,0)$ abbiamo:
$0*(x-0)+0*(y-0)+1*(z-0)=0$
Ossia:
$z=0$
Grazie ad entrambi per la tempestiva risposta.
Non ho capito una cosa. Quando mi trovo nel piano cartesiano, l’equazione y = -x appartiene al piano xy giusto? Pensando alla retta che viene rappresentata dall’equazione dovrebbe o sbaglio? Scusate se sto facendo confusione ma geometria al liceo l’ho fatta in modo piuttosto approssimativo al contrario dell’analisi e ora ho qualche difficolta’. Potete farmi un esempio di una equazione che giace sul piano xy?
Forse sto confondendo un vettore che giace su un piano da una equazione.
Quindi z = 0 vuol dire tutti i punti x,y,z che soddisfano l’equazione z = 0.
Ma ancora non capisco il perché’ non vi sono le x e y.
Grazie per la pazienza.
Non ho capito una cosa. Quando mi trovo nel piano cartesiano, l’equazione y = -x appartiene al piano xy giusto? Pensando alla retta che viene rappresentata dall’equazione dovrebbe o sbaglio? Scusate se sto facendo confusione ma geometria al liceo l’ho fatta in modo piuttosto approssimativo al contrario dell’analisi e ora ho qualche difficolta’. Potete farmi un esempio di una equazione che giace sul piano xy?
Forse sto confondendo un vettore che giace su un piano da una equazione.
Quindi z = 0 vuol dire tutti i punti x,y,z che soddisfano l’equazione z = 0.
Ma ancora non capisco il perché’ non vi sono le x e y.
Grazie per la pazienza.
Non vi sono $x$ e $y$ per il motivo detto sopra.
Un piano si rappresenta come: $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$; se $a$,$b$,$c$ sono tutti diversi da zero, nella tua equazione vedrai $x$,$y$,$z$, se $a=0$, allora non vedrai $x$, se $b=0$ allora non vedrai $y$, se $c=0$ allora non vedrai $z$. Nel caso del piano $xy$ è $a=b=0$ e pertanto non ci sono ne $x$ ne $y$ nell'equazione, o se vuoi, ci sono e l'equazione del piano è:
$0x+0y+z=0$
Adesso ci sono $x$,$y$ e $z$.
$y=-x$ è una retta in $RR^2$, ossia è l'equazione di una retta su un piano, se tu vuoi scrivere quella medesima retta in $RR^3$, ossia un uno spazio $xyz$ quell'equazione non rappresenta più una retta, perché? perché rappresenta tutti i punti che soddisfano $y=-x$, ma questi punti non giacciono solo su una retta, ma su un intero piano, ossia il piano $y+x=0$ (perché non compare $z$? vedi sopra), pertanto quando hai una equazione devi sempre tenere presente dove stai lavorando perché in $RR^2$ e $RR^3$ quelle due equazioni uguali sono molto diverse.
Una curva giace in $xy$ se è definita in $RR^2$, altrimenti, per quanto detto prima, se è definita in $RR^3$ non necessariamente giace in xy.
Per essere più precisi, senza l'ambiguità di dire se siamo in xy su un piano in xyz, si lavora sempre in xyz e si esprime una qualsiasi retta come tale, ossia come intersezione di due piano, pertanto la retta $y+x=0$ non ha equazione $y=-x$ ma
${ ( y+x=0 ),( z=0 ):}$
Questa è l'equazione della retta $y=-x$ in $xy$
Un piano si rappresenta come: $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$; se $a$,$b$,$c$ sono tutti diversi da zero, nella tua equazione vedrai $x$,$y$,$z$, se $a=0$, allora non vedrai $x$, se $b=0$ allora non vedrai $y$, se $c=0$ allora non vedrai $z$. Nel caso del piano $xy$ è $a=b=0$ e pertanto non ci sono ne $x$ ne $y$ nell'equazione, o se vuoi, ci sono e l'equazione del piano è:
$0x+0y+z=0$
Adesso ci sono $x$,$y$ e $z$.
$y=-x$ è una retta in $RR^2$, ossia è l'equazione di una retta su un piano, se tu vuoi scrivere quella medesima retta in $RR^3$, ossia un uno spazio $xyz$ quell'equazione non rappresenta più una retta, perché? perché rappresenta tutti i punti che soddisfano $y=-x$, ma questi punti non giacciono solo su una retta, ma su un intero piano, ossia il piano $y+x=0$ (perché non compare $z$? vedi sopra), pertanto quando hai una equazione devi sempre tenere presente dove stai lavorando perché in $RR^2$ e $RR^3$ quelle due equazioni uguali sono molto diverse.
Una curva giace in $xy$ se è definita in $RR^2$, altrimenti, per quanto detto prima, se è definita in $RR^3$ non necessariamente giace in xy.
Per essere più precisi, senza l'ambiguità di dire se siamo in xy su un piano in xyz, si lavora sempre in xyz e si esprime una qualsiasi retta come tale, ossia come intersezione di due piano, pertanto la retta $y+x=0$ non ha equazione $y=-x$ ma
${ ( y+x=0 ),( z=0 ):}$
Questa è l'equazione della retta $y=-x$ in $xy$
Vulplasir, grazie. Permettimi un ultima cosa. Ciò che mi provoca confusione è come sia possibile in un piano, per esempio il piano x+y=0, individuare tutti i punti avendo a disposizione solo le variabili x e y. Sto guardando per esempio il grafico creato dal piano x+y=0. E' un piano passante per l'asse z. Ora essendo in R^3 mi dici giustamente che i punti che soddisfano tale equazione non giacciono su una retta ma su un intero piano. Ma senza la variabile z come faccio a "muovermi" verticalmente ed individuare gli altri punti?
Ti allego il grafico.
Grazie ancora.
E' una questione talmente banale che non mi spiego come non riesca a capirlo.
Ti allego il grafico.
Grazie ancora.
E' una questione talmente banale che non mi spiego come non riesca a capirlo.
Cominciamo con il piano $xy$ usuale: la sua equazione è $z=0$, ok? Cosa significa? significa che appartengono a quel piano tutti i punti $P(x,y,z)$ tali che $z=0$...il punto $(1,2,0)$ appartiene? si, dato che $z=0$, il punto $(0,2,2)$ appartiene? no, dato che $z=2$. Come vedi la condizione necessaria e sufficiente per appartenere al piano $xy$ è di avere $z=0$, ma questo non significa che non puoi individuare le coordinate $x$ e $y$, infatti esse possono assumere qualsiasi valore, un punto nel piano $xy$ pertanto lo si può individuare sapendo quali sono la sua $x$ e la sua $y$, che possono essere qualsiasi valore, non c'é alcuna restrizione nei valori $x$ e $y$, ma c'è una restrizione nei valori di $z$, che possono essere solo $0$, pertanto non ti puoi muovere verticalmente, ma puoi muoverti in qualsiasi direzione orizzontalmente.
Andiamo al piano $x+y=0$, tu dici: come faccio a muovermi verticalmente se non mi dice nulla sulla variabile $z$? mi dice che deve essere $x+y=0$, ma $z$? Come detto prima, su $z$ non c'é alcuna restrizione, come vedi dal grafico, e come tu stesso hai detto, quel piano passo per l'asse $z$, ossia tutti i punti appartenenti all'asse $z$ appartengono al piano, quindi se vuoi sapere se un certo punto $(x,y,z)$ appartiene al piano, devi solo verificare che sia $x+y=0$, non ti importa di $z$, in pratica quindi ti puoi muovere verticalmente come ti pare, ossia assegnare qualsiasi valore a $z$, ma ciò a cui devi stare attento è che nelle altre direzioni non puoi muoverti come ti pare, ma in modo tale che sia $x+y=0$
Andiamo al piano $x+y=0$, tu dici: come faccio a muovermi verticalmente se non mi dice nulla sulla variabile $z$? mi dice che deve essere $x+y=0$, ma $z$? Come detto prima, su $z$ non c'é alcuna restrizione, come vedi dal grafico, e come tu stesso hai detto, quel piano passo per l'asse $z$, ossia tutti i punti appartenenti all'asse $z$ appartengono al piano, quindi se vuoi sapere se un certo punto $(x,y,z)$ appartiene al piano, devi solo verificare che sia $x+y=0$, non ti importa di $z$, in pratica quindi ti puoi muovere verticalmente come ti pare, ossia assegnare qualsiasi valore a $z$, ma ciò a cui devi stare attento è che nelle altre direzioni non puoi muoverti come ti pare, ma in modo tale che sia $x+y=0$
Ora ho capito (finalmente). Tutto chiaro. Non capivo che la variabile mancante z in un piano come x+y=0 potesse assumere qualsiasi valore.
Ti ringrazio molto per l'infinita pazienza.
Ti ringrazio molto per l'infinita pazienza.
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