Forma di Jordan
Ciao a tutti!! Sto studiando la forma canonica di Jordan, ma ho un dubbio... Non riesco cioè a capire a cosa corrispondono quegli 1 che si trovano posti diagonalmente sopra gli autovalori.. So che dipendono dal fatto che la molteplicità geometrica non coincide con la algebrica, ma non capisco il criterio su come metterli. A cosa corrispondono? Alla molteplicità geometrica dell'autovalore?
Risposte
Ciao Federichina!
La forma canonica di Jordan...la davo ormai per estinta, sterminata, assieme al compianto polinomio minimo suo consorte, dai programmi del 3+2...gia'...ma il mondo continua ancora a farsi descrivere da sistemi di equazioni differenziali lineari (a volte...), alla faccia dei nostri "politici"...
Se intendi: numero di "uni" sopra la diagonale = molteplicita' geometrica dell'autovalore...no, la molteplicita' geometrica ti dice quanti sono i blocchi elementari di Jordan relativi a quell'autovalore...
ESEMPIO:
\[
A=\begin{pmatrix}
2\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&-1\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&2\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }& 0\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }& 1\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&5\text{ }\text{ }& 0\text{ }\text{ }&-9\\
2\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }& 3\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }& 0\text{ }\text{ }&-1
\end{pmatrix}\]
ha polinomio caratteristico $(2-x)^6$, molteplicita' geometrica $3$, quindi la forma di Jordan di $A$ avra' $3$ blocchi elementari di Jordan (tutti per lo stesso autovalore, cioe' $2$) ed e' infatti:
\[
J=\left(\begin{array}{ccc|cc|c}
\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }0\\
\hline
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }& \text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }& \text{ }0\\
\hline
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }2
\end{array}\right)\]
Questo dipende dalla forma che assume la catena dei nuclei:
\[
\underbrace{\{0\}}_{\text{dim.}0=k_0}\;\subsetneq\;\underbrace{\text{Ker}(A-2I_6)}_{\text{dim.}3=k_1}\;\subsetneq\;\underbrace{\text{Ker}((A-2I_6)^2)}_{\text{dim.}5=k_2}\;\subsetneq\;\underbrace{\text{Ker}((A-2I_6)^3)}_{\text{dim.}6=k_3}=\mathbb R^6,
\]
da cui: l'ultimo blocco e' di taglia $k_3-k_2=6-5=1$, il penultimo e' di taglia $k_2-k_1=5-3=2$, e poi, il primo, $k_1-k_0=3-0=3$ (l'ascent, o indice, dell'autovalore, che in questo esempio vale $3$, dice la taglia del piu' grande blocco elementare; esso si puo' leggere nel polinomio minimo di $A$, qui $(x-2)^3$...).
Altro esempio (su cui dovresti poter lavorare da sola):
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
\text{ }2\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\\
\text{ }1\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }0\\
\text{ }3\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2
\end{array}\right)
\]
Dovrebbe venire polinomio caratteristico: $(x-2)^3$ (polinomio minimo $(x-2)^2$) e forma di Jordan
\[
J=\left(\begin{array}{cc|c}
\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }&\text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }0\\
\hline
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2
\end{array}\right)
\]
Uno schema riassuntivo (tratto da: http://www.dii.unimo.it/zanasi/didattic ... i_2009.htm) --> http://www.dii.unimo.it/zanasi/didattic ... Jordan.pdf
Ha il pregio di essere sintetico...anche se...alla fine per la taglia dei miniblocchi non e' cosi' utile...
Oppure:
Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli (2011)
Saluti
La forma canonica di Jordan...la davo ormai per estinta, sterminata, assieme al compianto polinomio minimo suo consorte, dai programmi del 3+2...gia'...ma il mondo continua ancora a farsi descrivere da sistemi di equazioni differenziali lineari (a volte...), alla faccia dei nostri "politici"...
"Federichina":
Non riesco cioè a capire a cosa corrispondono quegli 1 che si trovano posti diagonalmente sopra gli autovalori.. So che dipendono dal fatto che la molteplicità geometrica non coincide con la algebrica, ma non capisco il criterio su come metterli. A cosa corrispondono? Alla molteplicità geometrica dell'autovalore?
Se intendi: numero di "uni" sopra la diagonale = molteplicita' geometrica dell'autovalore...no, la molteplicita' geometrica ti dice quanti sono i blocchi elementari di Jordan relativi a quell'autovalore...
ESEMPIO:
\[
A=\begin{pmatrix}
2\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&-1\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&2\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }& 0\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }& 1\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&5\text{ }\text{ }& 0\text{ }\text{ }&-9\\
2\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }& 3\text{ }\text{ }& 0\\
0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&0\text{ }\text{ }&1\text{ }\text{ }& 0\text{ }\text{ }&-1
\end{pmatrix}\]
ha polinomio caratteristico $(2-x)^6$, molteplicita' geometrica $3$, quindi la forma di Jordan di $A$ avra' $3$ blocchi elementari di Jordan (tutti per lo stesso autovalore, cioe' $2$) ed e' infatti:
\[
J=\left(\begin{array}{ccc|cc|c}
\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }0\\
\hline
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }& \text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }& \text{ }0\\
\hline
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }& \text{ }2
\end{array}\right)\]
Questo dipende dalla forma che assume la catena dei nuclei:
\[
\underbrace{\{0\}}_{\text{dim.}0=k_0}\;\subsetneq\;\underbrace{\text{Ker}(A-2I_6)}_{\text{dim.}3=k_1}\;\subsetneq\;\underbrace{\text{Ker}((A-2I_6)^2)}_{\text{dim.}5=k_2}\;\subsetneq\;\underbrace{\text{Ker}((A-2I_6)^3)}_{\text{dim.}6=k_3}=\mathbb R^6,
\]
da cui: l'ultimo blocco e' di taglia $k_3-k_2=6-5=1$, il penultimo e' di taglia $k_2-k_1=5-3=2$, e poi, il primo, $k_1-k_0=3-0=3$ (l'ascent, o indice, dell'autovalore, che in questo esempio vale $3$, dice la taglia del piu' grande blocco elementare; esso si puo' leggere nel polinomio minimo di $A$, qui $(x-2)^3$...).
Altro esempio (su cui dovresti poter lavorare da sola):
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
\text{ }2\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }0\\
\text{ }1\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }0\\
\text{ }3\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2
\end{array}\right)
\]
Dovrebbe venire polinomio caratteristico: $(x-2)^3$ (polinomio minimo $(x-2)^2$) e forma di Jordan
\[
J=\left(\begin{array}{cc|c}
\text{ }2\text{ }&\text{ }1\text{ }&\text{ }0\\
\text{ }0\text{ }&\text{ }2\text{ }&\text{ }0\\
\hline
\text{ }0\text{ }&\text{ }0\text{ }&\text{ }2
\end{array}\right)
\]
Uno schema riassuntivo (tratto da: http://www.dii.unimo.it/zanasi/didattic ... i_2009.htm) --> http://www.dii.unimo.it/zanasi/didattic ... Jordan.pdf
Ha il pregio di essere sintetico...anche se...alla fine per la taglia dei miniblocchi non e' cosi' utile...
Oppure:
Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli (2011)
Saluti
Grazie mille!! Sei stato molto chiaro!
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