Forma canonica razionale e di Jordan
Così come scritto nel titolo del topic, avrei bisogno una mano per capire come si ottiene la forma canonica razionale e quella di Jordan una volta normalizzata la matrice. Mi servirebbe un procedimento generico e magari applicato ad un esempio. Grazie infinite a chiunque mi aiuterà!
Risposte
Temo che non vada bene. La tua B ha polinomio minimo diverso dalla A.
Infatti $m_B(x)=(x+1)^2(x-1)^2$ mentre $m_A(x)=(x+1)^2(x-1)$.
In generale nel caso della tua A quella coppia di polinomio minimo e caratteristico indentifica univocamente un'unica forma di Jordan. Lo vedi anche in un altro modo. Quel polinomio minimo + caratteristico definisce una matrice composta da un "pezzo" (blocco di Jordan) che è l'identità quindi una matrice diagonale e quindi come ti dicevo la sua classe di similitudine è determinata dai polinomi. E poi da un "pezzo" che non è diagonale (nè diagonalizzabile) ma è "troppo piccolo" per giocarci. Cioè è un blocco di ordine 2 in cui le possibilità sono 2: o è l'identità o è l'identità più un 1 in posizione (1,2). E questo dipende strettamente dal polinomio minimo.
Per poter fare un discorso di questo genere devi salire di dimensione, hai bisogno perlomeno di un blocco relativo ad un singolo autovalore che abbia dimensione almeno 4.
Forse mi sto esprimendo male per cui te lo mostro "graficamente".
Supponiamo che la tua matrice abbia autovalori di molteplicità alg tutte minori o uguali di 2.
Cioè i fattori del polinomio car sono tutti del tipo
$(x-lambda_i)^{alpha_i}$ con $alpha_i<=2\ AAi$.
Prendiamo un autovalore $lambda$ generico che abbia molteplicità 2.
Allora il relativo blocco di Jordan ha due sole possibilità.
1) $((λ,),(,λ))$ cioè la diagonale con pol minimo m=(x-λ)
2) $((λ,1),(,λ))$ quindi polinomio minimo m=(x-λ)^2
Quindi non c'è speranza perchè il polinomio minimo identifica univocamente la natura del blocco.
Supponiamo che la tua matrice abbia autovalori di molteplicità alg tutte minori o uguali di 3.
Qui le possibilità sono (a meno di permutazioni):
1)$((λ,,),(,λ,),(,,λ))$ cioè m=(x-λ)
2)$((λ,1,),(,λ,),(,,λ))$ cioè m=(x-λ)^2
3)$((λ,1,),(,λ,1),(,,λ))$ cioè m=(x-λ)^3
E anche qui vedi che non c'è scampo.
Se invece hai almeno un autovalore con molteplicità algebrica 4 puoi avere speranze.
Le possibilità sono
1)$((λ,,,),(,λ,,),(,,λ,),(,,,λ))$ cioè m=(x-λ)
2)$((λ,1,,),(,λ,,),(,,λ,),(,,,λ))$ cioè m=(x-λ)^2
3)$((λ,1,,),(,λ,,),(,,λ,1),(,,,λ))$ cioè m=(x-λ)^2
eccetera.
Come vedi ci sono 2 forme di Jordan diverse (quindi non simili) che hanno lo stesso polinomio caratteristico e minimo.
Qui in dimensione 4 può capitare ma in dimensioni più basse le scelte sono obbligate.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Infatti $m_B(x)=(x+1)^2(x-1)^2$ mentre $m_A(x)=(x+1)^2(x-1)$.
In generale nel caso della tua A quella coppia di polinomio minimo e caratteristico indentifica univocamente un'unica forma di Jordan. Lo vedi anche in un altro modo. Quel polinomio minimo + caratteristico definisce una matrice composta da un "pezzo" (blocco di Jordan) che è l'identità quindi una matrice diagonale e quindi come ti dicevo la sua classe di similitudine è determinata dai polinomi. E poi da un "pezzo" che non è diagonale (nè diagonalizzabile) ma è "troppo piccolo" per giocarci. Cioè è un blocco di ordine 2 in cui le possibilità sono 2: o è l'identità o è l'identità più un 1 in posizione (1,2). E questo dipende strettamente dal polinomio minimo.
Per poter fare un discorso di questo genere devi salire di dimensione, hai bisogno perlomeno di un blocco relativo ad un singolo autovalore che abbia dimensione almeno 4.
Forse mi sto esprimendo male per cui te lo mostro "graficamente".
Supponiamo che la tua matrice abbia autovalori di molteplicità alg tutte minori o uguali di 2.
Cioè i fattori del polinomio car sono tutti del tipo
$(x-lambda_i)^{alpha_i}$ con $alpha_i<=2\ AAi$.
Prendiamo un autovalore $lambda$ generico che abbia molteplicità 2.
Allora il relativo blocco di Jordan ha due sole possibilità.
1) $((λ,),(,λ))$ cioè la diagonale con pol minimo m=(x-λ)
2) $((λ,1),(,λ))$ quindi polinomio minimo m=(x-λ)^2
Quindi non c'è speranza perchè il polinomio minimo identifica univocamente la natura del blocco.
Supponiamo che la tua matrice abbia autovalori di molteplicità alg tutte minori o uguali di 3.
Qui le possibilità sono (a meno di permutazioni):
1)$((λ,,),(,λ,),(,,λ))$ cioè m=(x-λ)
2)$((λ,1,),(,λ,),(,,λ))$ cioè m=(x-λ)^2
3)$((λ,1,),(,λ,1),(,,λ))$ cioè m=(x-λ)^3
E anche qui vedi che non c'è scampo.
Se invece hai almeno un autovalore con molteplicità algebrica 4 puoi avere speranze.
Le possibilità sono
1)$((λ,,,),(,λ,,),(,,λ,),(,,,λ))$ cioè m=(x-λ)
2)$((λ,1,,),(,λ,,),(,,λ,),(,,,λ))$ cioè m=(x-λ)^2
3)$((λ,1,,),(,λ,,),(,,λ,1),(,,,λ))$ cioè m=(x-λ)^2
eccetera.
Come vedi ci sono 2 forme di Jordan diverse (quindi non simili) che hanno lo stesso polinomio caratteristico e minimo.
Qui in dimensione 4 può capitare ma in dimensioni più basse le scelte sono obbligate.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
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