Forma canonica razionale e di Jordan
Così come scritto nel titolo del topic, avrei bisogno una mano per capire come si ottiene la forma canonica razionale e quella di Jordan una volta normalizzata la matrice. Mi servirebbe un procedimento generico e magari applicato ad un esempio. Grazie infinite a chiunque mi aiuterà!
Risposte
"Megan00b":
Qui trovi Jordan:
https://www.matematicamente.it/forum/mat ... tml#244775
Grazie mille, ma il procedimento usato è estremamente connesso all'algebra lineare e il mio prof che insegna algebra non vuole quello.
Non è che sai come ricavare la forma canonica direttamente dalla matrice in forma normale di cui si conosce polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma razionale?
"fabry1985mi":
[quote="Megan00b"]Qui trovi Jordan:
https://www.matematicamente.it/forum/mat ... tml#244775
Grazie mille, ma il procedimento usato è estremamente connesso all'algebra lineare e il mio prof che insegna algebra non vuole quello.
Non è che sai come ricavare la forma canonica direttamente dalla matrice in forma normale di cui si conosce polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma razionale?[/quote]
Non ho capito niente... Primo forma canonica=forma normale. Secondo hai pensato che l'algebra lineare magari è una parte dell'algebra? Terzo se leggi il link che ti ho messo la forma canonica o normale di Jordan è ricavata esattamente da polinomio minimo e polinomio caratteristico. E non conosco un altro modo per farlo visto che per costruirla ti servono esattamente gli autovalori con le rispettive molteplicità algebriche e geometiche.
"Megan00b":
Non ho capito niente... Primo forma canonica=forma normale. Secondo hai pensato che l'algebra lineare magari è una parte dell'algebra? Terzo se leggi il link che ti ho messo la forma canonica o normale di Jordan è ricavata esattamente da polinomio minimo e polinomio caratteristico. E non conosco un altro modo per farlo visto che per costruirla ti servono esattamente gli autovalori con le rispettive molteplicità algebriche e geometiche.
Si, in effetti è inequivocabile che tu non abbia capito niente. Primo: i sinonimi si possono usare perché a diversi vocaboli corrispondono uguali concetti (SEMANTICA). Secondo: capisco io stesso che l'Algebra e l'Algebra lineare siano piuttosto "duali", ma il senso di quel che ho scritto andava interpretato come una necessità di risolvere l'esercizio non come in un corso del primo anno sulle applicazioni lineari. Terzo: l'esercitatore (e dunque il mio prof.) quando calcola la matrice di Jordan non fa nessun accenno ad autospazi e loro relativa dimensione (per trovare la molteplicità geometrica relativa ad un autovalore), quindi, a meno che non faccia tutto a mente in pochi secondi e senza comunicare a noi studenti il procedimento, trovo improbabile che ci sia solo un modo per risolvere l'esercizio.
Comunque per chi fosse più disponibile di Megan00b (e soprattutto meno maleducato), chiedo per favore come fare, data una matrice $A$, trovati i suoi fattori invarianti, il polinomio minimo e il polinomio caratteristico a costruire la forma canonica Razionale e di Jordan.
Grazie mille!
Mah... certa gente è proprio strana.
Se sai che sono sinonimi ti renderai conto che questa frase:
ha poco senso....
Algoritmo per il calcolo della forma di Jordan di una matrice A.
Dati: Sia J la forma normale di Jordan di A.
Allora poichè normale=canonica i dati rappresentano la soluzione. FINE.
Un consiglio: prova a sgonfiarti un po' altrimenti non otterrai molto aiuto.
Se sai che sono sinonimi ti renderai conto che questa frase:
Non è che sai come ricavare la forma canonica direttamente dalla matrice in forma normale...
ha poco senso....
Algoritmo per il calcolo della forma di Jordan di una matrice A.
Dati: Sia J la forma normale di Jordan di A.
Allora poichè normale=canonica i dati rappresentano la soluzione. FINE.
Un consiglio: prova a sgonfiarti un po' altrimenti non otterrai molto aiuto.
Mah guarda che la forma canonica di Jordan non è la stessa cosa della forma normale altrimenti so anch'io che ho il risultato del problema ancora prima di iniziare: si chiama forma normale quella matrice diagonale in cui compaiono su di essa tutti i fattori invarianti della matrice di partenza. Comunque ho chiaramente specificato che non mi interessa aiuto da persone come te che devono per forza farti sentire uno stupido con frasi ironiche come:
Del resto chi chiede aiuto non sa già la risposta quindi è ovvio fare osservazioni sbagliate!
Se poi a te fa piacere essere sfottuto quando non sai qualcosa allora è tutto un altro discorso...
"Megan00b":
Secondo hai pensato che l'algebra lineare magari è una parte dell'algebra?
Del resto chi chiede aiuto non sa già la risposta quindi è ovvio fare osservazioni sbagliate!
Se poi a te fa piacere essere sfottuto quando non sai qualcosa allora è tutto un altro discorso...
Senti quella frase era un modo scherzoso per farti notare che quell'indicazione non diceva niente. Forse a te sì. Ma agli altri no. Se mi prendono in giro (indipendentemente dal quando) mi fa sempre piacere. Io lo considero un segno di intelligenza. Poi fai te.
Nella frase:
"si chiama forma normale quella matrice diagonale in cui compaiono su di essa tutti i fattori invarianti della matrice di partenza"
cosa intendi per fattori invarianti?
Se posti un esercizio risolto dal professore magari ti si può dire *come ha fatto*...
Nella frase:
"si chiama forma normale quella matrice diagonale in cui compaiono su di essa tutti i fattori invarianti della matrice di partenza"
cosa intendi per fattori invarianti?
Se posti un esercizio risolto dal professore magari ti si può dire *come ha fatto*...
Prendo questo esercizio e vi faccio vedere come è stato svolto:
Sia $A=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,-2,0, 1),(-2,0,-1,-2))$
Si calcolino:
(a) i fattori invarianti
(b) il polinomio minimo e il polinomio caratteristico di $A$
(c) la forma canonica razionale di $A$
(d) la forma canonica di Jordan di $A$
Svolgimento:
Le operazioni consentite sono: scambio righe, scambio colonne, moltiplicare per un elemento invertibile, sostituire a una riga se stessa più un multiplo dell'altra e stesso discorso per le colonne e la meta che si vuole raggiungere è quella di ottenere una matrice diagonale in modo che $a_(1,1)|a_(2,2)|..... |a_(n,n)$. Una sorta di eliminazione di Gauss
$((1-x,0,0,0),(0,1-x,0,0),(0,-2,-x, 1),(-2,0,-1,-2-x))->((-2,0,-1,-2-x),(0,1-x,0,0),(-2,-2,-x,1),(1-x,0,0,0))->((-1,0,-2,-2-x),(0,1-x,0,0),(-x,-2,-2,1),(0,0,1-x,0))->((-1,0,-2,-2-x),(0,1-x,0,0),(0,-2,2x-2,(x+1)^2),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,1-x,0,0),(0,-2,2x-2,(x+1)^2),(0,0,1-x,0))->$
$((-1,0,0,0),(0,1-x,0,0),(0,-1,2x-2,(x+1)^2),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,-1,2x-2,(x+1)^2),(0,1-x,0,0),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,-1,2x-2,(x+1)^2),(0,0,(x-1)(2-2x),(x+1)^2(1-x)),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,(x-1)(2-2x),(x+1)^2(1-x)),(0,0,1-x,0))->$
$((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1-x,0),(0,0,(x-1)(2-2x),(x+1)^2(1-x)))->((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1-x,0),(0,0,0,(x+1)^2(1-x)))$
dunque i fattori invarianti sono: $d_1=-1$, $d_2=-1$, $d_3=1-x$, $d_4=(x+1)^2(1-x)$
il polinomio minimo è: $m_A(x)=(x+1)^2(1-x)=-x^3-x^2+x+1$
il polinomio caratteristico è: $p_A(x)=(x+1)^2(1-x)^2$
la forma canonica razionale è:
$R=((-1,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,1))$
ottenuta in questo modo:
si trascurano i fattori invarianti $d_1$ e $d_2$ in quanto unitari.
Poiché $d_3$ ha grado $1$ ci sarà un solo blocco $1x1$ con $-1$ (l'elemento $r_(1,1)$)
Poiché $d_4$ ha grado $3$ ci sarà un solo blocco $3x3$ in cui nell'ultima colonna vengono riportati partendo dall'alto i coefficienti cambiati di segno del polinomio minimo $m_a(x)$ tralasciando il coefficiente del grado massimo.
Infine si inserisce un blocco identità $2x2$ come vedete (è difficile spiegarlo a parole
)
la matrice di Jordan invece è:
$J=((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,-1,-2))$
e non dà alcuna spiegazione.
Vi prego aiutatemi!
Sia $A=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,-2,0, 1),(-2,0,-1,-2))$
Si calcolino:
(a) i fattori invarianti
(b) il polinomio minimo e il polinomio caratteristico di $A$
(c) la forma canonica razionale di $A$
(d) la forma canonica di Jordan di $A$
Svolgimento:
Le operazioni consentite sono: scambio righe, scambio colonne, moltiplicare per un elemento invertibile, sostituire a una riga se stessa più un multiplo dell'altra e stesso discorso per le colonne e la meta che si vuole raggiungere è quella di ottenere una matrice diagonale in modo che $a_(1,1)|a_(2,2)|..... |a_(n,n)$. Una sorta di eliminazione di Gauss
$((1-x,0,0,0),(0,1-x,0,0),(0,-2,-x, 1),(-2,0,-1,-2-x))->((-2,0,-1,-2-x),(0,1-x,0,0),(-2,-2,-x,1),(1-x,0,0,0))->((-1,0,-2,-2-x),(0,1-x,0,0),(-x,-2,-2,1),(0,0,1-x,0))->((-1,0,-2,-2-x),(0,1-x,0,0),(0,-2,2x-2,(x+1)^2),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,1-x,0,0),(0,-2,2x-2,(x+1)^2),(0,0,1-x,0))->$
$((-1,0,0,0),(0,1-x,0,0),(0,-1,2x-2,(x+1)^2),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,-1,2x-2,(x+1)^2),(0,1-x,0,0),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,-1,2x-2,(x+1)^2),(0,0,(x-1)(2-2x),(x+1)^2(1-x)),(0,0,1-x,0))->((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,(x-1)(2-2x),(x+1)^2(1-x)),(0,0,1-x,0))->$
$((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1-x,0),(0,0,(x-1)(2-2x),(x+1)^2(1-x)))->((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1-x,0),(0,0,0,(x+1)^2(1-x)))$
dunque i fattori invarianti sono: $d_1=-1$, $d_2=-1$, $d_3=1-x$, $d_4=(x+1)^2(1-x)$
il polinomio minimo è: $m_A(x)=(x+1)^2(1-x)=-x^3-x^2+x+1$
il polinomio caratteristico è: $p_A(x)=(x+1)^2(1-x)^2$
la forma canonica razionale è:
$R=((-1,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,1))$
ottenuta in questo modo:
si trascurano i fattori invarianti $d_1$ e $d_2$ in quanto unitari.
Poiché $d_3$ ha grado $1$ ci sarà un solo blocco $1x1$ con $-1$ (l'elemento $r_(1,1)$)
Poiché $d_4$ ha grado $3$ ci sarà un solo blocco $3x3$ in cui nell'ultima colonna vengono riportati partendo dall'alto i coefficienti cambiati di segno del polinomio minimo $m_a(x)$ tralasciando il coefficiente del grado massimo.
Infine si inserisce un blocco identità $2x2$ come vedete (è difficile spiegarlo a parole
)la matrice di Jordan invece è:
$J=((-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,-1,-2))$
e non dà alcuna spiegazione.
Vi prego aiutatemi!
Tranquillo ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Le motivazioni che ti dà sono tutte quelle di cui hai bisogno. Davvero ciò che manca è scrivere la matrice.
Te lo dico approssimativamente perchè non vedo una forma di Frobenius (così la chiamo io) da tanto e non vorrei dire stupidaggini.
La forma razionale è una matrice diagonale a blocchi, dove ciascun blocco relativo ad un autovalore è la matrice companion (*) di un successivo fattore invariante.
Per quanto riguarda la forma di Jordan vale lo stesso: hai tutti gli ingredienti perchè ti servono gli autovalori (che prendi dal polinomio minimo) e le molteplicità che prendi dal polinomio minimo e dal polinomio caratteristico. L'unica attenzione qui è che gli autovalori sono complessi e la matrice riportata non è propriamente la forma di Jordan ma la forma di Jordan reale in cui si usano blocchetti tridiagonali invece che bidiagonali.
(*) Matrice companion: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_compagna
In sostanza per la prima devi scrivere tanti blocchi quanti sono i fattori invarianti, blocchi companion del fattore invariante come polinomio monico (da cui il fatto che non consideri il coefficiente direttivo perchè è 1).
Per la seconda devi controllare la dimensione dei sottoblocchi, ma in una matrice così semplice (4x4 con 2 autovalori) si vede ad occhio.
...infatti ora che riguardo misa che c'è un errore nella forma di Jordan che hai scritto. Prova a guardare un po', c'è un 2 che non dovrebbe esserci o sono io cotto...
Te lo dico approssimativamente perchè non vedo una forma di Frobenius (così la chiamo io) da tanto e non vorrei dire stupidaggini.
La forma razionale è una matrice diagonale a blocchi, dove ciascun blocco relativo ad un autovalore è la matrice companion (*) di un successivo fattore invariante.
Per quanto riguarda la forma di Jordan vale lo stesso: hai tutti gli ingredienti perchè ti servono gli autovalori (che prendi dal polinomio minimo) e le molteplicità che prendi dal polinomio minimo e dal polinomio caratteristico. L'unica attenzione qui è che gli autovalori sono complessi e la matrice riportata non è propriamente la forma di Jordan ma la forma di Jordan reale in cui si usano blocchetti tridiagonali invece che bidiagonali.
(*) Matrice companion: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_compagna
In sostanza per la prima devi scrivere tanti blocchi quanti sono i fattori invarianti, blocchi companion del fattore invariante come polinomio monico (da cui il fatto che non consideri il coefficiente direttivo perchè è 1).
Per la seconda devi controllare la dimensione dei sottoblocchi, ma in una matrice così semplice (4x4 con 2 autovalori) si vede ad occhio.
...infatti ora che riguardo misa che c'è un errore nella forma di Jordan che hai scritto. Prova a guardare un po', c'è un 2 che non dovrebbe esserci o sono io cotto...
"Megan00b":
Tranquillo ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Le motivazioni che ti dà sono tutte quelle di cui hai bisogno. Davvero ciò che manca è scrivere la matrice.
Te lo dico approssimativamente perchè non vedo una forma di Frobenius (così la chiamo io) da tanto e non vorrei dire stupidaggini.
La forma razionale è una matrice diagonale a blocchi, dove ciascun blocco relativo ad un autovalore è la matrice companion (*) di un successivo fattore invariante.
Per quanto riguarda la forma di Jordan vale lo stesso: hai tutti gli ingredienti perchè ti servono gli autovalori (che prendi dal polinomio minimo) e le molteplicità che prendi dal polinomio minimo e dal polinomio caratteristico. L'unica attenzione qui è che gli autovalori sono complessi e la matrice riportata non è propriamente la forma di Jordan ma la forma di Jordan reale in cui si usano blocchetti tridiagonali invece che bidiagonali.
(*) Matrice companion: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_compagna
In sostanza per la prima devi scrivere tanti blocchi quanti sono i fattori invarianti, blocchi companion del fattore invariante come polinomio monico (da cui il fatto che non consideri il coefficiente direttivo perchè è 1).
Per la seconda devi controllare la dimensione dei sottoblocchi, ma in una matrice così semplice (4x4 con 2 autovalori) si vede ad occhio.
...infatti ora che riguardo misa che c'è un errore nella forma di Jordan che hai scritto. Prova a guardare un po', c'è un 2 che non dovrebbe esserci o sono io cotto...
Grazie mille!
Anche se c'è qualcosa che non mi è chiaro sulla forma di Jordan: tu parli di autovalori complessi, ma non capisco il perché di questo? Gli autovalori sono entrambi reali ( $1$ e $-1$) e con molteplicità algebrica $2$
Dunque seguendo la logica non dovrebbe essere $J=((-1,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1))$
Ma questa è diversa da quella trovata dall'esercitatore....
Cosa sbaglio?
Sì hai ragione, ho scritto una minchiata, ci sono 2 autovalori e sno -1 e 1.
Per determinare la forma di Jordan serve la molteplicità algebrica (2 per entrambi) e quindi avrai 1 blocco 2 x 2 per ognuno dei 2 autovalori.
Poi guardi il polinomio minimo. Il divisore massimo relativo a 1 è (1-x) di grado 1. Quindi il massimo sottoblocco per l'autovalore 1 ha ordine 1. Se devi arrivare a 2x2 ti servono 2 blocchetti cioè il blocco relativo all'autovalore 1 è l'identità 2x2.
Per l'autovalore -1 nel polinomio minimo hai (x+1)^2 quindi un solo sottoblocco 2x2 che è l'identità più un 1 sulla sopra diagonale.
Dovrebbe essere quindi:
$J=((1,,,),(,1,,),(,,-1,1),(,,,-1))$
Quindi concludo con ragionevole certezza che o l'esercitatore ha sbagliato a scrivere o te hai sbagliato a copiare, anche perchè quella che hai scritto non è una matrice in forma di Jordan e anche se fosse non è la forma di Jordan della matrice di partenza visto che ha un polinomio caratteristico diverso:
la prima aveva p.c. $(x-1)^2(x+1)^2$
mentre quella J che hai scritto ha p.c. $(x+1)^2(x^2+2x-1)$
laddove la forma di Jordan è una matrice simile a quella di partenza e quindi deve condividere con lei il p.c.
Tutto questo modulo i conti che però credo siano corretti. Prova a vedere tu stesso.
Ps. La cosa che avevo scritto della forma di Jordan reale qui effettivamente non centra, quella interviene quando si hanno matrici ad entrate reali con autovalori non reali. Frettolosamente ieri non ho controllato e ho dato l'unica giustificazione plausibile che mi veniva in mente per spiegare quella strana forma trigiagonale del blocchetto 2x2 inferiore.
Per determinare la forma di Jordan serve la molteplicità algebrica (2 per entrambi) e quindi avrai 1 blocco 2 x 2 per ognuno dei 2 autovalori.
Poi guardi il polinomio minimo. Il divisore massimo relativo a 1 è (1-x) di grado 1. Quindi il massimo sottoblocco per l'autovalore 1 ha ordine 1. Se devi arrivare a 2x2 ti servono 2 blocchetti cioè il blocco relativo all'autovalore 1 è l'identità 2x2.
Per l'autovalore -1 nel polinomio minimo hai (x+1)^2 quindi un solo sottoblocco 2x2 che è l'identità più un 1 sulla sopra diagonale.
Dovrebbe essere quindi:
$J=((1,,,),(,1,,),(,,-1,1),(,,,-1))$
Quindi concludo con ragionevole certezza che o l'esercitatore ha sbagliato a scrivere o te hai sbagliato a copiare, anche perchè quella che hai scritto non è una matrice in forma di Jordan e anche se fosse non è la forma di Jordan della matrice di partenza visto che ha un polinomio caratteristico diverso:
la prima aveva p.c. $(x-1)^2(x+1)^2$
mentre quella J che hai scritto ha p.c. $(x+1)^2(x^2+2x-1)$
laddove la forma di Jordan è una matrice simile a quella di partenza e quindi deve condividere con lei il p.c.
Tutto questo modulo i conti che però credo siano corretti. Prova a vedere tu stesso.
Ps. La cosa che avevo scritto della forma di Jordan reale qui effettivamente non centra, quella interviene quando si hanno matrici ad entrate reali con autovalori non reali. Frettolosamente ieri non ho controllato e ho dato l'unica giustificazione plausibile che mi veniva in mente per spiegare quella strana forma trigiagonale del blocchetto 2x2 inferiore.
Perfetto! Ora sembra essere tutto decisamente più chiaro!
Un ultima cosa: ovviamente non sarebbe cambiato niente se avessi cominciato a ragionare prima con l'autovalore $-1$, vero?
La forma di Jordan sarebbe stata $J=((-1,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ ma tanto è simile a $J=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$, giusto?
Un ultima cosa: ovviamente non sarebbe cambiato niente se avessi cominciato a ragionare prima con l'autovalore $-1$, vero?
La forma di Jordan sarebbe stata $J=((-1,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ ma tanto è simile a $J=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$, giusto?
Mi sono incuriosito e ho fatto un rapido conto...Quelle due matrici non solo sono simili ma si può passare dall'una all'altra coniugando con matrici di permutazione: precisamente, detta $Pi:=Pi[(1 4)(2 3)]$ la matrice ottenuta scambiando le colonne della matrice identica secondo la permutazione $(1 4)(2 3)$, otteniamo che $Pi^TJPi=J'$ (ho indicato con $J$ la prima e con $J'$ la seconda delle tue matrici). Vabbé, giusto una curiosità. Del resto non è per niente strano, questo significa che le due matrici rappresentano lo stesso endomorfismo su due basi diverse solo nell'ordine, e la permutazione che manda una base nell'altra è quella indicata.
"dissonance":
Mi sono incuriosito e ho fatto un rapido conto...Quelle due matrici non solo sono simili ma si può passare dall'una all'altra coniugando con matrici di permutazione: precisamente, detta $Pi:=Pi[(1 4)(2 3)]$ la matrice ottenuta scambiando le colonne della matrice identica secondo la permutazione $(1 4)(2 3)$, otteniamo che $Pi^TJPi=J'$ (ho indicato con $J$ la prima e con $J'$ la seconda delle tue matrici). Vabbé, giusto una curiosità. Del resto non è per niente strano, questo significa che le due matrici rappresentano lo stesso endomorfismo su due basi diverse solo nell'ordine, e la permutazione che manda una base nell'altra è quella indicata.
Adesso magari dirò una vaccata, ma la matrice di Jordan non è sempre determinata a meno di isomorfismi? Perché in questo caso la risposta al post precedente sarebbe che non ha importanza l'ordine in cui si considerano degli autovalori.
Certo, la forma canonica di Jordan, come anche la forma di Shur sono determinate a meno dell'ordine degli autovalori considerati (o della base di partenza). Dico gli autovalori perchè entrambe si costruiscono a partire da una base di autovettori, anche se nella costruzione della matrice di Jordan questo passaggio è implicito.
"Megan00b":
Certo, la forma canonica di Jordan, come anche la forma di Shur sono determinate a meno dell'ordine degli autovalori considerati (o della base di partenza). Dico gli autovalori perchè entrambe si costruiscono a partire da una base di autovettori, anche se nella costruzione della matrice di Jordan questo passaggio è implicito.
Oh, grazie mille! Sei stato molto gentile!
E mi spiace per l'attrito di ieri!
Figurati, a tutti girano le palle ogni tanto. Soprattutto quando un esercizio non torna.
Avrei bisogno d un consiglio su come fare, data una matrice $A$, a trovare una matrice $B$ che abbia stesso polinomio caratteristico e polinomio minimo, ma non sia simile ad $A$. Non saprei da dove partire!
Innannzitutto non sempre è possibile. Ad esempio, se non dico fesserie, se prendi una matrice diagonale la sua classe di similitudine è univacomente determinata da polinomio minimo + polinomio caratteristico.
In generale credo che un buon modo sia ricorrere alla forma di Jordan. Puoi supporre che la matrice A abbia un solo autovalore (cioè ti riferisci solo al blocco di Jordan relativo a quell'autovalore e fai la stessa cosa per ogni autovalore singolarmente).
Quindi i polinomi di A saranno:
$p(x)=(x-lambda)^alpha$ e
$m(x)=(x-lambda)^beta$ con
$1<=beta<=alpha=\o\r\d(A)$
Dal polinomio minimo prendi la dimensione del massimo sottoblocco. E qui in generale la scelta non è obbligata.
Ad esempio se hai $alpha=5$ e $beta=2$, puoi avere 2 sottoblocchi da 2 e 1 da 1 oppure 1 sottoblocco da 2 e 3 da 1.
Le due matrici di Jordan che ne risultano non sono simili (perchè la forma di Jordan è invariante per similitudini) ma hanno lo stesso polinomio minimo e caratteristico.
Ora questa tecnica potrebbe essere macchinosa in generale ma funziona. Se poi provi a scrivere la matrice A che hai ti posso dire se vedo altre strade migliori.
In generale credo che un buon modo sia ricorrere alla forma di Jordan. Puoi supporre che la matrice A abbia un solo autovalore (cioè ti riferisci solo al blocco di Jordan relativo a quell'autovalore e fai la stessa cosa per ogni autovalore singolarmente).
Quindi i polinomi di A saranno:
$p(x)=(x-lambda)^alpha$ e
$m(x)=(x-lambda)^beta$ con
$1<=beta<=alpha=\o\r\d(A)$
Dal polinomio minimo prendi la dimensione del massimo sottoblocco. E qui in generale la scelta non è obbligata.
Ad esempio se hai $alpha=5$ e $beta=2$, puoi avere 2 sottoblocchi da 2 e 1 da 1 oppure 1 sottoblocco da 2 e 3 da 1.
Le due matrici di Jordan che ne risultano non sono simili (perchè la forma di Jordan è invariante per similitudini) ma hanno lo stesso polinomio minimo e caratteristico.
Ora questa tecnica potrebbe essere macchinosa in generale ma funziona. Se poi provi a scrivere la matrice A che hai ti posso dire se vedo altre strade migliori.
Tanto per rimanere in tema potrei usare quella di questo post:
$A=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,-2,0, 1),(-2,0,-1,-2))$
La sua forma di Jordan è:
$J=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$
Dunque, ho pensato che potrebbe essere:
$B=((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$
una candidata perché sicuramente ha uguale polinomio caratteristico e polinomio minimo ad $A$, ma per il Teorema di Jordan non è simile ad $J$ (che invece è simile ad $A$); infatti le uniche e sole matrici simili a $J$ sono quelle in cui si sono permutati i blocchi e $B$ non ricade in questi casi...
Va bene come ragionamento?
$A=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,-2,0, 1),(-2,0,-1,-2))$
La sua forma di Jordan è:
$J=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$
Dunque, ho pensato che potrebbe essere:
$B=((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$
una candidata perché sicuramente ha uguale polinomio caratteristico e polinomio minimo ad $A$, ma per il Teorema di Jordan non è simile ad $J$ (che invece è simile ad $A$); infatti le uniche e sole matrici simili a $J$ sono quelle in cui si sono permutati i blocchi e $B$ non ricade in questi casi...
Va bene come ragionamento?
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