Forma canonica metrica di una forma quadratica?

[Sgt. Mat]

Mi spiegate come si fa in generale a trovare la forma canonica metrica di una forma quadratica e una base ortonormale rispetto alla quale una forma quadratica si scrive forma canonica, e magari farmi un esempio con la forma quadratica $ q(u)=2x^2+3y^2+3z^2-2yz $ ? Thanks

[Sgt. Mat]

Allora, il prof questa cosa l'ha spiegata in una sola lezione per non tornarci più (io ovviamente in quella lezione non c'ero), ho preso gli appunti di uno che c'era, ma non si capisce molto. Su internet non c'è praticamente nulla, allora mi vien da pensare che magari qualcuno la chiama in un altro modo. A questo punto provo a risolvere il quesito con quella forma quadratica che ho scritto nel post sopra. A me interessa soprattuto il ragionamento generale che c'è dietro in modo da riuscire poi a risolvere tutti gli esercizi di questo tipo.

Per prima cosa mi trovo la matrice associata a $ q(u) $: $ M=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 3 , -1 ),( 0 , -1 , 3 ) ) $
A questo punto mi trovo il polinomio caratteristico $ p(t) = det(M-t) = (2-t)^2(4-t) $ quindi ho due autovalori $ 2, 4 $ tali che $ m_a(2)=m_(g)(2)=2 $ e $ m_a(4)=m_(g)(4)=1 $, quindi $ M $ è diagonalizzabile. Trovo gli autospazi relativi agli autovalori ed ho $ V_2=Ker(M-2I) = Span$($((1),(0),(0)),((0),(1),(1))$) e $ V_4=Ker(M-4I) = Span(((0),(-1),(1))) $ e quindi so che esiste una certa matrice $ O $ tale che $O^(-1) M O = D$ ma ho appena trovato $ O = ((1,0,0),(0,1,-1),(0,1,1)) $ e so che $ D = ((2,0,0),(0,2,0),(0,0,4)) $

A questo punto posso dire che la forma canonica metrica è $ phi (v)=2x^2+2y^2+4z^2 $

Per trovare una base ortonormale rispetto alla quale $ q(u) $ si scrive in forma canonica, è sufficiente normalizzare i vettori della matrice $ O $. Quindi ho una matrice ortonormale \( P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/\sqrt{10} \\ 0 & 1/2 & 1/\sqrt{10} \end{pmatrix} \) tale che $ P^(-1)MP = D$