Forma canonica di Sylvester e matrici simili

[Frostman]

Buona sera, avrei bisogno di una mano con questo esercizio, perché non mi torna la forma canonica di Sylvester.



Posto h = 1, si determini una base in cui il prodotto scalare si rappresenta nella forma canonica di Sylvester.

Ho trovato i vari autospazi e le loro basi che sono

$V(0) = span{( ( 1 ),( 1 ),(0))} $

$V(4) = span{( ( 0 ),( 0 ),(1))}$

$V(2) = span{( ( -1 ),( 1 ),(0))} $

Che sono anche una base ortogonale rispetto al prodotto scalare. Però non corrisponde alla forma canonica di Sylvester, la soluzione mi da due vettori differenti rispetto ai tre. Dov'è l'errore?

Un'altra domanda che voglio porvi, due matrici A e B per definizione sono simili se e solo se esiste una matrice N invertibile tale che B = N^-1AN. In quali altri casi ho una condizione che mi basti confermare che siano simili? Perché se so che sono simili allora hanno lo stesso polinomio caratteristico, ma non vale il viceversa.