Forma canonica di jordan di $End(V)$ nilpotente
Salve a tutti,avrei problemi a capire questa proposizione che riguarda la forma canonica di jordan,ce la metterò tutto nel cercare di scrivere in maniera chiara e di intervenire ogni qual volta non sarà chiaro,nella speranza di risolvere insieme questa cosa
prop.Per oogni endomorfismo nilpotente $f:V->V$ esiste una decomposizione di $V=E_1oplus....oplusE_s$ con $E_i$ sottospazi invarianti, $dimE_i=n_i$ e $f_(E_i)$ è un endomorfismo ciclico,ovvero
$M(f_(E_i))=( ( 0 , 1 , 0 , ... , 0 ),( 0 , 0 , 1 , ... , 0 ),( 0 , ... , ... , ... , ... ),( ... , ... ,..., 0 , 1 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ) )$
Dimostrazione.Sia $f:V->V$ un endomorfismo nilpotente di indice $m$ e sia $W_i=Imf^i$ con $i=0,...,m$
detto questo si può subito appurare che $W_m={0}$ perche all'indice massimo l'endomorfismo è nullo,di seguito $W_(i+1)subW_i$,perchè $f^(i+1)(v)=f^i(f(v))inImf^i=W_i$ (essendo la "potenza" di una funzione una composizione).
Ne discende che $f(W_i)=W_(i+1)$.E infine $W_0=V$ infatti $f^0$ è l'identità.
Proseguendo si nota che $0=W_msubW_(m-1)subW_(m-2)sub...subW_1subW_0=V$.
Inoltre $W_(m-1)subN(f)$. Dove $N(f)$ è il nucleo dell'endomorfismo,Infatti prendiamo $winW_(m-1)$,allora si ha che $w=f^(m-1)(v)$ e sempre per la proprietà usata gia prima $f(w)=f(f^(m-1)(v))=f^m(v)=0$.
Ok e fin qui ci sono,ora quello che si tratta di fare è di costruire una base per $V$ a partire da una base per $W_(m-1)$.Sia quindi $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))$ una base per $W_(m-1)$ con $dimW_(m-1)=p_(m-1)$.
A questo punto abbiamo che $W_(m-1)subN(f)$ e inoltre $f(W_(m-2))=W_(m-1)$ il che implica che esistono vettori in $W_(m-2)$ le cui immagini sono $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))$,rispettivamente.E anche fin qua ci sono...Da questo punto in poi però non so piu andare avanti e non mi è chiaro quello che c'è scritto nella dimostrazione fatta dalla mia prof,che arrivata piu o meno fin qui,applica la $f$ ai vettori $e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))inW_(m-2)$ le cui immagini appunto sono i vettori della base $W_(m-1)$.Ad esempio $f(e^(m-2)_1)=e^(m-1)_1...$
E poi si preoccupa di provare che i vettori
$e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))inW_(m-1)subW_(m-2)$
$e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))inW_(m-2)$
...siano linearmente indipendenti,ma perchè? mica possono costituire una base? e poi non dovrebbe sussistere quest'uguaglianza $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))=e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))$ ??
poi una volta dimostrata l'indipendenza lineare dei vettori $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1)),e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))$ li estende a una base di $W_(m-2)$ in questo modo
$e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))$
$e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1)),e^(m-2)_(p_(m-1)+1),...,e^(m-2)_(p_(m-2))$
Ma per formare una base di $W_(m-2)$ non bastano solo questi vettori:
$e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1)),e^(m-2)_(p_(m-1)+1),...,e^(m-2)_(p_(m-2))$ ?
spero che qualcuno possa aiutarmi a completare questa dimostrazione,vi ringrazio gia solo se avete avuto la pazienza di leggere fin qui...
prop.Per oogni endomorfismo nilpotente $f:V->V$ esiste una decomposizione di $V=E_1oplus....oplusE_s$ con $E_i$ sottospazi invarianti, $dimE_i=n_i$ e $f_(E_i)$ è un endomorfismo ciclico,ovvero
$M(f_(E_i))=( ( 0 , 1 , 0 , ... , 0 ),( 0 , 0 , 1 , ... , 0 ),( 0 , ... , ... , ... , ... ),( ... , ... ,..., 0 , 1 ),( 0 , 0 , ... , ... , 0 ) )$
Dimostrazione.Sia $f:V->V$ un endomorfismo nilpotente di indice $m$ e sia $W_i=Imf^i$ con $i=0,...,m$
detto questo si può subito appurare che $W_m={0}$ perche all'indice massimo l'endomorfismo è nullo,di seguito $W_(i+1)subW_i$,perchè $f^(i+1)(v)=f^i(f(v))inImf^i=W_i$ (essendo la "potenza" di una funzione una composizione).
Ne discende che $f(W_i)=W_(i+1)$.E infine $W_0=V$ infatti $f^0$ è l'identità.
Proseguendo si nota che $0=W_msubW_(m-1)subW_(m-2)sub...subW_1subW_0=V$.
Inoltre $W_(m-1)subN(f)$. Dove $N(f)$ è il nucleo dell'endomorfismo,Infatti prendiamo $winW_(m-1)$,allora si ha che $w=f^(m-1)(v)$ e sempre per la proprietà usata gia prima $f(w)=f(f^(m-1)(v))=f^m(v)=0$.
Ok e fin qui ci sono,ora quello che si tratta di fare è di costruire una base per $V$ a partire da una base per $W_(m-1)$.Sia quindi $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))$ una base per $W_(m-1)$ con $dimW_(m-1)=p_(m-1)$.
A questo punto abbiamo che $W_(m-1)subN(f)$ e inoltre $f(W_(m-2))=W_(m-1)$ il che implica che esistono vettori in $W_(m-2)$ le cui immagini sono $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))$,rispettivamente.E anche fin qua ci sono...Da questo punto in poi però non so piu andare avanti e non mi è chiaro quello che c'è scritto nella dimostrazione fatta dalla mia prof,che arrivata piu o meno fin qui,applica la $f$ ai vettori $e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))inW_(m-2)$ le cui immagini appunto sono i vettori della base $W_(m-1)$.Ad esempio $f(e^(m-2)_1)=e^(m-1)_1...$
E poi si preoccupa di provare che i vettori
$e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))inW_(m-1)subW_(m-2)$
$e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))inW_(m-2)$
...siano linearmente indipendenti,ma perchè? mica possono costituire una base? e poi non dovrebbe sussistere quest'uguaglianza $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))=e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))$ ??
poi una volta dimostrata l'indipendenza lineare dei vettori $e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1)),e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1))$ li estende a una base di $W_(m-2)$ in questo modo
$e^(m-1)_1,...,e^(m-1)_(p_(m-1))$
$e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1)),e^(m-2)_(p_(m-1)+1),...,e^(m-2)_(p_(m-2))$
Ma per formare una base di $W_(m-2)$ non bastano solo questi vettori:
$e^(m-2)_1,...,e^(m-2)_(p_(m-1)),e^(m-2)_(p_(m-1)+1),...,e^(m-2)_(p_(m-2))$ ?
spero che qualcuno possa aiutarmi a completare questa dimostrazione,vi ringrazio gia solo se avete avuto la pazienza di leggere fin qui...
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