Forma canonica di Jordan
non riesco a calcolare la matrice di Jordan della seguente matrice
$A=((2,0,1,0,0),(0,2,1,0,0),(-1,1,3,1,1),(0,0,0,3,0),(-1,1,0,1,3))$
il polinomio caratteristico dovrebbe essere
$p(x)=(x-3)^3*(x-2)^2$
ora $dim ker(A-2id)=2$ e $dim ker(A-3id)=1$
quindi la matrice di Jordan è
$J=((2,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,3,1,0),(0,0,0,3,1),(0,0,0,0,3))$
però non riesco a calcolre la matrice P tc AP=PJ
infatti quando cerco le colonne della matrice relative all'autovalore 3,secondo il metodo che mi hanno spiegato,devo guardare le 3 matrici
$(A-3id)$
$(A-3id)^2$
$(A-3id)^3$
tuttavia la matrice $(A-3id)^3$ mi aspetto che sia la matrice nulla,ma secondo i miei conti (controllati per la maggiorparte anche col computer) non è così..qualcuno sa dirmi se viene anche a voi così e perchè?
$A=((2,0,1,0,0),(0,2,1,0,0),(-1,1,3,1,1),(0,0,0,3,0),(-1,1,0,1,3))$
il polinomio caratteristico dovrebbe essere
$p(x)=(x-3)^3*(x-2)^2$
ora $dim ker(A-2id)=2$ e $dim ker(A-3id)=1$
quindi la matrice di Jordan è
$J=((2,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,3,1,0),(0,0,0,3,1),(0,0,0,0,3))$
però non riesco a calcolre la matrice P tc AP=PJ
infatti quando cerco le colonne della matrice relative all'autovalore 3,secondo il metodo che mi hanno spiegato,devo guardare le 3 matrici
$(A-3id)$
$(A-3id)^2$
$(A-3id)^3$
tuttavia la matrice $(A-3id)^3$ mi aspetto che sia la matrice nulla,ma secondo i miei conti (controllati per la maggiorparte anche col computer) non è così..qualcuno sa dirmi se viene anche a voi così e perchè?
Risposte
Non deve venire nulla, deve avere 3 vettori nel ker 
Vediamo le matrici:
$A-3=((-1,0,1,0,0),(0,-1,1,0,0),(-1,1,0,1,1),(0,0,0,0,0),(-1,1,0,1,0)) \text{ , } ker =<((1),(1),(1),(0),(0))>$
$(A-3)^2= ((0, 1, -1, 1, 1), (-1, 2, -1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0)) \text{ , } ker = <((1),(1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0),(1))>$
$(A-3)^3= ((0, -1, 1, 0, -1), (1, -2, 1, 0, -1), (0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0), (-1, 1, 0, 0, 0)) \text{ , } ker = <((1),(1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0),(1)),((0),(0),(0),(1),(0))>$
Troviamo i due autovettori del 2:
$A-2=((0,0,1,0,0),(0,0,1,0,0),(-1,1,1,1,1),(0,0,0,1,0),(-1,1,0,1,1))\text{ , } ker = <((1),(1),(0),(0),(0)),((1),(0),(0),(0),(1))> $
Ora la matrice $P$ di cambiamento di base sarà nella componente riguardante il $2$ data dal ker di $A-2$, in quella riguardante l'autovalore del $3$ devi trovare un autovettore che si annulli solo in $(A-3)^3$ e applicarlo ad $(A-3)$ ed $(A-3)^2$, noi prendiamo:
$((0),(0),(0),(1),(0))=> (A-3) ((0),(0),(0),(1),(0))= ((0),(0),(1),(0),(1))=> (A-3)^2 ((0),(0),(0),(1),(0))= ((1),(1),(1),(0),(0))$
Ora li sistemiamo nella matrice, prima i due dell'autovalore $2$ quindi in ordine inverso a come li hai trovati quelli dell'autovettore $3$:
$P=((1,1,1,0,0),(1,0,1,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,0,1),(0,1,0,1,0))$
Vediamo se è vero:
$AP=PJ=>((2,0,1,0,0),(0,2,1,0,0),(-1,1,3,1,1),(0,0,0,3,0),(-1,1,0,1,3))((1,1,1,0,0),(1,0,1,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,0,1),(0,1,0,1,0))= ((1,1,1,0,0),(1,0,1,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,0,1),(0,1,0,1,0))((2,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,3,1,0),(0,0,0,3,1),(0,0,0,0,3))=> $
$=>((2, 2, 3, 1, 0), (2, 0, 3, 1, 0), (0, 0, 3, 4, 1), (0, 0, 0, 0, 3), (0, 2, 0, 3, 1))=((2, 2, 3, 1, 0), (2, 0, 3, 1, 0), (0, 0, 3, 4, 1), (0, 0, 0, 0, 3), (0, 2, 0, 3, 1))=> VERO$
Dimmi pure se non capisci
Vediamo le matrici:
$A-3=((-1,0,1,0,0),(0,-1,1,0,0),(-1,1,0,1,1),(0,0,0,0,0),(-1,1,0,1,0)) \text{ , } ker =<((1),(1),(1),(0),(0))>$
$(A-3)^2= ((0, 1, -1, 1, 1), (-1, 2, -1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0)) \text{ , } ker = <((1),(1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0),(1))>$
$(A-3)^3= ((0, -1, 1, 0, -1), (1, -2, 1, 0, -1), (0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0), (-1, 1, 0, 0, 0)) \text{ , } ker = <((1),(1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0),(1)),((0),(0),(0),(1),(0))>$
Troviamo i due autovettori del 2:
$A-2=((0,0,1,0,0),(0,0,1,0,0),(-1,1,1,1,1),(0,0,0,1,0),(-1,1,0,1,1))\text{ , } ker = <((1),(1),(0),(0),(0)),((1),(0),(0),(0),(1))> $
Ora la matrice $P$ di cambiamento di base sarà nella componente riguardante il $2$ data dal ker di $A-2$, in quella riguardante l'autovalore del $3$ devi trovare un autovettore che si annulli solo in $(A-3)^3$ e applicarlo ad $(A-3)$ ed $(A-3)^2$, noi prendiamo:
$((0),(0),(0),(1),(0))=> (A-3) ((0),(0),(0),(1),(0))= ((0),(0),(1),(0),(1))=> (A-3)^2 ((0),(0),(0),(1),(0))= ((1),(1),(1),(0),(0))$
Ora li sistemiamo nella matrice, prima i due dell'autovalore $2$ quindi in ordine inverso a come li hai trovati quelli dell'autovettore $3$:
$P=((1,1,1,0,0),(1,0,1,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,0,1),(0,1,0,1,0))$
Vediamo se è vero:
$AP=PJ=>((2,0,1,0,0),(0,2,1,0,0),(-1,1,3,1,1),(0,0,0,3,0),(-1,1,0,1,3))((1,1,1,0,0),(1,0,1,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,0,1),(0,1,0,1,0))= ((1,1,1,0,0),(1,0,1,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,0,1),(0,1,0,1,0))((2,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,3,1,0),(0,0,0,3,1),(0,0,0,0,3))=> $
$=>((2, 2, 3, 1, 0), (2, 0, 3, 1, 0), (0, 0, 3, 4, 1), (0, 0, 0, 0, 3), (0, 2, 0, 3, 1))=((2, 2, 3, 1, 0), (2, 0, 3, 1, 0), (0, 0, 3, 4, 1), (0, 0, 0, 0, 3), (0, 2, 0, 3, 1))=> VERO$
Dimmi pure se non capisci
ah aspetta ho avuto un illuminazione!!!è che di solito con matrici così grosse sono abituata ad avere un autovalore solo,e quindi facendo le potenze di matrici alla fine giustamente avevo una matrice nulla!!!! l'ho resa un'operazione talmente automatica,che mi dimentico la teoria..
grazie mille 10 minuti fa ho realizzato che era una domanda del cavolo,sono contenta che tu l'abbia confermato...domani ripasso la teoria va lò prima di intasare il forum di domande "furbe"
grazie mille 10 minuti fa ho realizzato che era una domanda del cavolo,sono contenta che tu l'abbia confermato...domani ripasso la teoria va lò prima di intasare il forum di domande "furbe"
Non preoccuparti, capita! Anche io ero abituato ad autovalori sempre uguali
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo