Forma canonica di forme quadratiche
Ciao ragazzi e ragazze, avrei bisogno di una mano per scrivere in forma canonica questa forma quadratica trovando le matrici dei cambiamenti di base effettuati. Se possibile mi sarebbe utile anche una spiegazione dei passaggi perchè il docente ha solo spiegato per linee generali come si trova la forma canonica e quindi ora non so come potermi muovere per trovarla.
La forma quadratica è:
$2x_1^2-x_1x_3+x_2x_3+x_1x_4$ definita su $RR^4$
La forma quadratica è:
$2x_1^2-x_1x_3+x_2x_3+x_1x_4$ definita su $RR^4$
Risposte
scrivi la matrice associata e diagonalizzala... una volta che hai trovato la base ortogonale (quella che diagonalizza) postala ed insieme arriviamo alla forma canonica di sylvester. Lo sai fare, o proprio non sai diagonalizzarla?
no non so proprio diagonalizzarla 
...
...
Io veramente seguirei un sistema diverso, basato su una versione generalizzata dell'algoritmo di Gram-Schmidt. Lo si può trovare qui.
ho svolto l'esercizio (così lo uso come ripasso!) però ora non ho tempo di postarlo...
In giornata vedrò di farlo!
In giornata vedrò di farlo!
grazie mistake allora aspetto
scriviamo la matrice della forma quadratica, e ci riferiremo poi alla sua forma polare $b$. $((2,0,-1/2,1/2),(0,0,1/2,0),(-1/2,1/2,0,0),(1/2,0,0,0))$. Se anche questo passaggio non ti è chiaro, ti darò delucidazioni in seguito.
Consideriamo i vettori della base canonica e osserviamo che $q(e_1)=2$ quindi è non isotropo.
Dalla teoria sappiamo che $RR^4=oplus^(\bot)$ ove $^(\bot)={w=(x,y,z,t)inRR^4|b(w,e_1)=0}$. Ovviamente ho indicato con $b$ la forma polare associata a $q$. Risulta quindi, dopo i calcoli, che $^(\bot)=<(1,0,4,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)>$ ed i vettori che vi appartengono sono della forma $(x,y,4x+t,t)$
Osserviamo che $q(1,0,4,0)=-2$ esso quindi e non isotropo. chiamiamolo $v_1$
risulterà quindi $^(\bot)=oplus^(\bot)$. Ricaviamo $^(\bot)={w=(x,y,4x+t,t)in^(\bot)|b(w,v_1)=0}$. Svolgendo i veri calcoli otteniamo che $^(\bot)=<(1,1,4,0),(0,0,1,1)>$ ed i suoi vettori sono nella forma $(y,y,4y+t,t)$
Prova ora ad iterare il processo... e se incontri difficoltà chiedi.
Otterrai alla fine una base ortogonale, scrivila e poi andiamo avanti insieme!
Consideriamo i vettori della base canonica e osserviamo che $q(e_1)=2$ quindi è non isotropo.
Dalla teoria sappiamo che $RR^4=
Osserviamo che $q(1,0,4,0)=-2$ esso quindi e non isotropo. chiamiamolo $v_1$
risulterà quindi $
Prova ora ad iterare il processo... e se incontri difficoltà chiedi.
Otterrai alla fine una base ortogonale, scrivila e poi andiamo avanti insieme!
la matrice mi è chiara, riuscivo ad ottenerla anche io. Non mi è chiaro invece come hai ottenuto $^(\bot)$. Anche se forse non c'entra per trovare la forma canonica volendo posso anche dalla matrice, determinare gli autovalori, in seguito gli autospazi e procedere nel determinare la base ortonormale di autovalori?
beh come ricavare $^(\bot)$ l'ho scritto... prova a vedere meglio.
Quanto alla seconda parte... mi verrebbe da dire di no, perchè quando diagonalizzi un endomorfismo rendi le matrici simili, qui congruenti, quindi non penso funzioni, ma dovrei pensarci meglio. Se poi qualche altro volesse dare delucidazioni...sarebbe meglio
Quanto alla seconda parte... mi verrebbe da dire di no, perchè quando diagonalizzi un endomorfismo rendi le matrici simili, qui congruenti, quindi non penso funzioni, ma dovrei pensarci meglio. Se poi qualche altro volesse dare delucidazioni...sarebbe meglio
non capisco cosa intendi con $b(w,e_1)=0$ e quindi automaticamente non capisco perchè ti esce $(1,0,4,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)$..scusa ma proprio non capisco..
si tratta della forma polare, ovvero bilineare, associata ad una forma quadratica...
"mistake89":In realtà in questo caso funziona. Ma conviene tenere sempre presente che la diagonalizzazione di una forma bilineare / quadratica [size=75](*)[/size] è una cosa, e la diagonalizzazione di un endomorfismo è un'altra. Negli spazi euclidei, però, c'è il concetto di base ortonormale; risulta che per le matrici di cambiamento di base tra basi ortonormali la trasposizione coincide con l'inversione e la congruenza di matrici per mezzo di matrici di passaggio di questo genere coincide con la similitudine.
quando diagonalizzi un endomorfismo rendi le matrici simili, qui congruenti, quindi non penso funzioni, ma dovrei pensarci meglio. Se poi qualche altro volesse dare delucidazioni...sarebbe meglio
Spero di essere stato chiaro, oggi ho preso molta aria e mi sento un po' stonato.
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[size=75](*)[/size]Infatti, come notava mistake89, c'è una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle forme bilineari simmetriche su un dato spazio vettoriale e l'insieme delle forme quadratiche sullo stesso. Data una forma bilineare $b=b(v, w)$, si definisce una forma quadratica $q$ fissando le due variabili: $q(v)=b(v, v)$; e data una forma quadratica $q$ si definisce una forma bilineare (detta polare della $q$) mediante la recovery formula: $b(v, w)=1/2(q(v+w)-q(v)-q(w))$. Si richiede che il campo di riferimento abbia caratteristica diversa da $2$ perché quest'ultima formula abbia senso. Maggiori informazioni su Sharipov, pag.100-101.
Sì chiarissimo Dissonance... quello che dici è giustissimo!
Il mio dubbio era sul fatto che la similitudine è realizzata mediante la matrice degli autovettori, mentre la congruenza mediante la matrice di passaggio dalla base canonica alla base ortogonale...
Il mio dubbio era sul fatto che la similitudine è realizzata mediante la matrice degli autovettori, mentre la congruenza mediante la matrice di passaggio dalla base canonica alla base ortogonale...
"mistake89":
scriviamo la matrice della forma quadratica, e ci riferiremo poi alla sua forma polare $b$. $((2,0,-1/2,1/2),(0,0,1/2,0),(-1/2,1/2,0,0),(1/2,0,0,0))$. Se anche questo passaggio non ti è chiaro, ti darò delucidazioni in seguito.
Consideriamo i vettori della base canonica e osserviamo che $q(e_1)=2$ quindi è non isotropo.
Dalla teoria sappiamo che $RR^4=oplus ^(\bot)$ ove $ ^(\bot)={w=(x,y,z,t)inRR^4|b(w,e_1)=0}$. Ovviamente ho indicato con $b$ la forma polare associata a $q$. Risulta quindi, dopo i calcoli, che $ ^(\bot)=<(1,0,4,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)>$ ed i vettori che vi appartengono sono della forma $(x,y,4x+t,t)$
Osserviamo che $q(1,0,4,0)=-2$ esso quindi e non isotropo. chiamiamolo $v_1$
risulterà quindi $^(\bot)= oplus ^(\bot)$. Ricaviamo $ ^(\bot)={w=(x,y,4x+t,t)in ^(\bot)|b(w,v_1)=0}$. Svolgendo i veri calcoli otteniamo che $ ^(\bot)=<(1,1,4,0),(0,0,1,1)>$ ed i suoi vettori sono nella forma $(y,y,4y+t,t)$
Prova ora ad iterare il processo... e se incontri difficoltà chiedi.
Otterrai alla fine una base ortogonale, scrivila e poi andiamo avanti insieme!
allora io ora ti dico in parole un po' meno sofisticate quello che ho capito che bisogna fare:
prendo $e_1=((1,0,0,0))$ relativo alla base canonica di $RR^4$ e applicandolo alla mia forma quadratica vedo che $q(e_1)=2$ per questo calcolo $e_1^(\bot)$ il quale sarà dato da questo prodotto:
$((1,0,0,0))$ $((2,0,-1/2,1/2),(0,0,1/2,0),(-1/2,1/2,0,0),(1/2,0,0,0))$ $((x),(y),(z),(t)) =0$ e mi dà $4x-z+t=0$ quindi i vettori che gli appartengono come hai detto tu sono della forma $(x,y,4x+t,t)$.
Ora prendo uno di questi vettori ad esempio $q(1,0,4,0)=-2$ e lo chiamo $v_1$.
Devo calcolare $((1,0,4,0))$ $((2,0,-1/2,1/2),(0,0,1/2,0),(-1/2,1/2,0,0),(1/2,0,0,0))$ $((x),(y),(z),(t)) =0$
se calcolo questo ottengo $4y-z+t=0$ e quindi $z=4y+t$ ma siccome deve soddisfare anche all'altra forma ovvero a $(x,y,4x+t,t)$ allora avremo $(y,y,4y+t,t)$. Prendiamo un altro vettore e quindi $q(1,1,4,0)=2$ e lo chiamo $v_2$
quindi avremo $((1,1,4,0))$ $((2,0,-1/2,1/2),(0,0,1/2,0),(-1/2,1/2,0,0),(1/2,0,0,0))$ $((x),(y),(z),(t)) =0$
calcolandolo avrò $4y+t=0$; rispettando anche le altre due ipotesi avremo vettori scritti nella forma $(-(1/4)t,-(1/4)t,0,t)$. E' giusto?
Devo ripeterlo un altra volta il passaggio o no? se lo svolgo ottengo $-(1/8)t=0$ e quindi i vettori sono nella forma $(0,0,0,0)$.
la matrice allora è $M=((1,1,1,0),(0,0,1,0),(0,4,4,0),(0,0,0,0))$. Giusto o no?
Se poi faccio il prodotto tra la trasposti M, la matrice della forma quadratica e M ottengo la matrice: $((2,0,0,0),(0,-2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$
quindi la forma canonica sarà: $2x_1^2-2x_2^2+2x_3^2$
Siccome l'esercizio mi chiede di calcolare il rango, la segnatura, la forma polare, la matrice associata e dire se è definita positiva, negativa o indefinita ho pensato che sarebbe meglio porre $x_1=y_1$,$x_2=y_3$,$x_3=y_2$ in tal modo sarà più facile trovare la segnatura che sarà $(2,1)$, e dire che indefinita. la matrice associata dovrebbe essere $((2,0,-1/2,1/2),(0,0,1/2,0),(-1/2,1/2,0,0),(1/2,0,0,0))$ vero? per il rango basta determinare il rango di questa matrice associata? l'ultimo problema è: la forma polare come la scrivo?
Spero che sia giusto il procedimento. Aspetto una tua conferma.
ci sono degli errori... anche perchè la matrice $M$ non rappresenta una base ortogonale.
Innanzitutto per capire quale vettore "scegliere" devi necessariamente cercare uno che non sia isotropo, cioè devi sempre verificare che $q(v_i)!=0$ altrimenti non funziona.
L'algoritmo si deve arrestare quando $^(\bot)$ ha dimensione $1$, quindi in questo caso doveva fermarsi al vettore $(-1/4,-1/4,0,1)$ che scriviamo meglio $(1,1,0,-4)$
quindi andando a ritroso otteniamo la nostra base ortogonale che è formata dai vettori $(1,0,0,0),(1,0,4,0),(1,1,4,0),(1,1,0,-4)$
per verificare quanto trovato, prova a fare $b(v_i,v_j)$ per $i=!j$ e dovresti ottenere sempre $0$ mentre.
Otteniamo quindi una matrice di questo tipo $((2,0,0,0),(0,-2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,-2))$. Ti invito a controllare i calcoli che non sono il mio forte!!!
Per scrivere la forma canonica, o di sylvester, prendiamo i vettori e li dividiamo per $1/(sqrt(b(v_i,v_i))$ o nel caso in cui essi siano negativi $1/sqrt(-b(v_i,v_i))$
perciò, sempre se i conti sono corretti, otteremo $w_1=e_1/sqrt(b(e_1,e_1))=(1/sqrt(2),0,0,0)$, $w_2=v_1/sqrt(-b(v_1,v_1))=(1/sqrt(2),0,4/sqrt(2),0)$ e così via...
infatti se provi a considerare $q(w_1)$ otterrai $2*(1/sqrt(2))^2=1$ e così via...
Innanzitutto per capire quale vettore "scegliere" devi necessariamente cercare uno che non sia isotropo, cioè devi sempre verificare che $q(v_i)!=0$ altrimenti non funziona.
L'algoritmo si deve arrestare quando $
quindi andando a ritroso otteniamo la nostra base ortogonale che è formata dai vettori $(1,0,0,0),(1,0,4,0),(1,1,4,0),(1,1,0,-4)$
per verificare quanto trovato, prova a fare $b(v_i,v_j)$ per $i=!j$ e dovresti ottenere sempre $0$ mentre.
Otteniamo quindi una matrice di questo tipo $((2,0,0,0),(0,-2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,-2))$. Ti invito a controllare i calcoli che non sono il mio forte!!!
Per scrivere la forma canonica, o di sylvester, prendiamo i vettori e li dividiamo per $1/(sqrt(b(v_i,v_i))$ o nel caso in cui essi siano negativi $1/sqrt(-b(v_i,v_i))$
perciò, sempre se i conti sono corretti, otteremo $w_1=e_1/sqrt(b(e_1,e_1))=(1/sqrt(2),0,0,0)$, $w_2=v_1/sqrt(-b(v_1,v_1))=(1/sqrt(2),0,4/sqrt(2),0)$ e così via...
infatti se provi a considerare $q(w_1)$ otterrai $2*(1/sqrt(2))^2=1$ e così via...
quindi devo porre $y_1=(1/sqrt(2))x_1$ e $y_3=(4/sqrt(2)x_3$? e avrò la forma canonica $y_1^2+y_2^2$. tutti questi calcoli mi stanno mandando in confusione.
Ti consiglio di riguarda il teorema di Sylvester nel caso Reale, e quello nel caso complesso...
La forma canonica è sempre la stessa, si tratta di determinare una base secondo cui la nostra forma quadratica si esprima in questo modo, ed è ciò che abbiamo fatto!
La forma canonica è sempre la stessa, si tratta di determinare una base secondo cui la nostra forma quadratica si esprima in questo modo, ed è ciò che abbiamo fatto!
ah si giusto. Oggi non ci sono con la testa, che scemo.
Ascolta siccome l'esercizio mi chiede di calcolare il rango, la segnatura, la forma polare, la matrice associata e dire se è definita positiva, negativa o indefinita ho pensato che sarebbe meglio porre $x_1=y_1$,$x_2=y_3$,$x_3=y_2$ in tal modo sarà più facile trovare la segnatura che sarà $(2,2)$, e dire che è indefinita. la matrice associata e il rango dovrebbe essere relativi alla matrice che abbiamo trovato all'inizio del procedimento per arrivare alla forma canonica? l'ultimo problema è: la forma polare come la scrivo? So che la forma polare è nella forma: $\phi(u,v)$$=(1/2)($$\Phi(u+v)$$-$$\Phi(u)$$-$$\Phi(v)$$)$$
Cosa prendo come u e v?
Ascolta siccome l'esercizio mi chiede di calcolare il rango, la segnatura, la forma polare, la matrice associata e dire se è definita positiva, negativa o indefinita ho pensato che sarebbe meglio porre $x_1=y_1$,$x_2=y_3$,$x_3=y_2$ in tal modo sarà più facile trovare la segnatura che sarà $(2,2)$, e dire che è indefinita. la matrice associata e il rango dovrebbe essere relativi alla matrice che abbiamo trovato all'inizio del procedimento per arrivare alla forma canonica? l'ultimo problema è: la forma polare come la scrivo? So che la forma polare è nella forma: $\phi(u,v)$$=(1/2)($$\Phi(u+v)$$-$$\Phi(u)$$-$$\Phi(v)$$)$$
Cosa prendo come u e v?
"Lory90":
Ciao ragazzi e ragazze, avrei bisogno di una mano per scrivere in forma canonica questa forma quadratica trovando le matrici dei cambiamenti di base effettuati. Se possibile mi sarebbe utile anche una spiegazione dei passaggi perchè il docente ha solo spiegato per linee generali come si trova la forma canonica e quindi ora non so come potermi muovere per trovarla.
La forma quadratica è:
$2x_1^2-x_1x_3+x_2x_3+x_1x_4$ definita su $RR^4$
mi potete dire se questa forma quadratica è definita o semidefinita positiva o negativa oppure inderìfinita? potete indicarmi il procedimento che utilizzate?
La forma polare altro non è che la forma bilineare simmetrica associata alla forma quadratica. Per farlo non ti serve altro che scritta la forma quadratica, "risalire" alla forma bilineare... Quindi la matrice della forma quadratica rappresenterà la matrice della forma bilineare, non ti resta che scrivere esplicitamente tale forma.
Mi pare che nella tua forma canonica manchi $x_4$ ma il concetto è giusto, cioè dapprima metti i termini "positivi" e poi quelli "negativi"...
Mi pare che nella tua forma canonica manchi $x_4$ ma il concetto è giusto, cioè dapprima metti i termini "positivi" e poi quelli "negativi"...
per verificare se è definita o no positiva, negativa, o indefinita, basta vedere la segnatura.
se essa è $(n,0)$ ( oppure $(0,n)$) la forma quadratica - o bilineare- è definita positiva (negativa).
se $r
se essa è $(n,0)$ ( oppure $(0,n)$) la forma quadratica - o bilineare- è definita positiva (negativa).
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