Forma canonica di forme quadratiche
Ciao ragazzi e ragazze, avrei bisogno di una mano per scrivere in forma canonica questa forma quadratica trovando le matrici dei cambiamenti di base effettuati. Se possibile mi sarebbe utile anche una spiegazione dei passaggi perchè il docente ha solo spiegato per linee generali come si trova la forma canonica e quindi ora non so come potermi muovere per trovarla.
La forma quadratica è:
$2x_1^2-x_1x_3+x_2x_3+x_1x_4$ definita su $RR^4$
La forma quadratica è:
$2x_1^2-x_1x_3+x_2x_3+x_1x_4$ definita su $RR^4$
Risposte
mistake ho provato a farne un altro e sarebbe questo:
$2x_1^2-x_1x_3+6x_2x_3+x_3^2$
Ho scritto la matrice della forma quadratica che è: $((2,0,-1/2),(0,0,3),(-1/2,3,1))$.
Considero $e_1=((1,0,0))$ relativo alla base canonica di $RR^3$ e ho $q(e_1)=2$.
Calcolo $e_1^(\bot)$ e mi dà $4x-z=0$ quindi i vettori che gli appartengono sono della forma $(x,0,4x)$.
La dimensione è $1$. Mi fermo qui?
e allora la base ortogonale sarà formata da: $(1,0,0),(1,0,4)$..e l'altro??
$2x_1^2-x_1x_3+6x_2x_3+x_3^2$
Ho scritto la matrice della forma quadratica che è: $((2,0,-1/2),(0,0,3),(-1/2,3,1))$.
Considero $e_1=((1,0,0))$ relativo alla base canonica di $RR^3$ e ho $q(e_1)=2$.
Calcolo $e_1^(\bot)$ e mi dà $4x-z=0$ quindi i vettori che gli appartengono sono della forma $(x,0,4x)$.
La dimensione è $1$. Mi fermo qui?
e allora la base ortogonale sarà formata da: $(1,0,0),(1,0,4)$..e l'altro??
non capisco perchè dalla relazione $4x=z$ i vettori siano della forma $(x,0,4x)$. Quella relazione non dice certo che $y=0$
ci sono cascato..che fesso. allora no considero $v_1=((1,0,4))$ relativo al fatto che i vettori sono della forma $(x,y,4x)$ e ho $q(v_1)=14$.
Calcolo $v_1^(\bot)$ e mi dà $24y+7z=0$ quindi i vettori sono nella forma, se non sbaglio i calcoli, $(-(6/7)y,y,-(24/7)y)$ o meglio $(-6y,7y,-24y)$ e quindi ho come base: $(1,0,0),(1,0,4),(-6,7,-24)$ e ottengo $((2,0,0),(0,14,0),(0,0,-504)$. non sono sicurissimo dei calcoli però perchè li ho fatti di fretta.
Calcolo $v_1^(\bot)$ e mi dà $24y+7z=0$ quindi i vettori sono nella forma, se non sbaglio i calcoli, $(-(6/7)y,y,-(24/7)y)$ o meglio $(-6y,7y,-24y)$ e quindi ho come base: $(1,0,0),(1,0,4),(-6,7,-24)$ e ottengo $((2,0,0),(0,14,0),(0,0,-504)$. non sono sicurissimo dei calcoli però perchè li ho fatti di fretta.
beh se i calcoli son giusti il procedimento è corretto...
ora è diagonalizzata, provvedi a porre la base come richiesto dal teorema!
ora è diagonalizzata, provvedi a porre la base come richiesto dal teorema!
e li applico il teorema di Sylvester giusto? e quindi ho ad esempio $w_1=(1/sqrt(2),0,0)$, $w_2=(1/sqrt(14),0,4/sqrt(14))$ e $w_3=(-6/sqrt(504),7/sqrt(504),-24/sqrt(504))$?
domanda stupida forse: la nostra forma quadratica si esprime secondo questa base giusto? come lo posso verificare? che calcoli devo fare? devo moltiplicare la matrice associata alla forma quadratica per che cosa?
domanda stupida forse: la nostra forma quadratica si esprime secondo questa base giusto? come lo posso verificare? che calcoli devo fare? devo moltiplicare la matrice associata alla forma quadratica per che cosa?
Non ho controllato i calcoli, ma se è così è giusto!
Per controllare di aver fatto bene semplicemente applica la forma quadratica $q$ dell'esercizio ai tuoi vettori di base ed avrai una matrice del tipo richiesto. A quel punto puoi scrivere la forma canonica della forma quadratica rispetto a tale base che sarà del tipo $q:y_1^2+...+y_p^2-y_(p+1)^2-...-y_n^2$
Per controllare di aver fatto bene semplicemente applica la forma quadratica $q$ dell'esercizio ai tuoi vettori di base ed avrai una matrice del tipo richiesto. A quel punto puoi scrivere la forma canonica della forma quadratica rispetto a tale base che sarà del tipo $q:y_1^2+...+y_p^2-y_(p+1)^2-...-y_n^2$
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