Forma canonica cilindro iperbolico
Salve a tutti,
ho la seguente quadrica da classificare e da portare in forma canonica:
$ 6xz +8yz -5 = 0 $
Scrivo le matrici che ne permettono il riconoscimento:
$ A= ( ( 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 4 ),( 3 , 4 , 0 ) ) $
$ B = ( ( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 4 , 0 ),( 3 , 4 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -5 ) ) $
$ det(A) = 0 $, $ det(B) = 0 $, $ rk(A) = 2 $
Inoltre gli autovalori di a sono $ 5, -5, 0 $ sono discordi pertanto si tratta di un cilindro iperbolico, la forma canonica è del tipo:
$ 5Y^2 -5Z^2 + c = 0 $
Il mio problema è determinare c...
Un grazie in anticipo!
ho la seguente quadrica da classificare e da portare in forma canonica:
$ 6xz +8yz -5 = 0 $
Scrivo le matrici che ne permettono il riconoscimento:
$ A= ( ( 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 4 ),( 3 , 4 , 0 ) ) $
$ B = ( ( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 4 , 0 ),( 3 , 4 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -5 ) ) $
$ det(A) = 0 $, $ det(B) = 0 $, $ rk(A) = 2 $
Inoltre gli autovalori di a sono $ 5, -5, 0 $ sono discordi pertanto si tratta di un cilindro iperbolico, la forma canonica è del tipo:
$ 5Y^2 -5Z^2 + c = 0 $
Il mio problema è determinare c...
Un grazie in anticipo!
Risposte
Per prima cosa diagonalizza la matrice $A$.
Potrei farlo, ma non vedo come diagonalizzare A possa aiutarmi a trovare c...
Mi è venuto in mente che potrei, calcolando gli autovettori di A, trovare la matrice di rotazione speciale ed applicarla all'equazione iniziale ma provando vengono fuori troppi conti per un espressione cosi semplice...
Ma figlio bello, perché non fai quello che ti si dice? Una volta che hai diagonalizzato $A$ (a prescindere della matrice di rotazione), tutta la matrice $B$ risulta diagonale, giusto? Per cui avrai una equazione del tipo $ax^2+by^2+cz^2-5=0$ che se non è canonica così, allora Papa Giovanni Paolo II non lo hanno fatto santo!
Grazie per la risposta,
Alternativamente potevo dire che applicando la matrice di rotazione vengono modificati solo i termini in xz yz e che quindi $ c = -5 $?
Alternativamente potevo dire che applicando la matrice di rotazione vengono modificati solo i termini in xz yz e che quindi $ c = -5 $?
Con $c$ ho indicato il coefficiente di $z^2$, qundi così non è. $-5$ è il termine noto.
Vero, scusa, intendevo il $ c $ nel mio primo post...
Vediamo un po' se riesco a risolvere la cosa. Intanto la forma canonica della quadrica la scrivo così:
$alpha x^2+beta y^2+gamma z^2+delta=0$
dove $alpha,beta,gamma$ sono gli autovalori relativi ad una certa matrice e $ delta$ è dato da :
$delta= A/{A_{44}} $, essendo $A,A_{44}$ rispettivamente il det della matrice associata alla quadrica e del minore complementare di $a_{44}$ della suddetta matrice A rispettivamente. La formula precedente avrebbe risolto in nostro problema immediatamente ma sfortunatamente nel nostro caso è $A=A_{44}=0$ e quindi serve un'alternativa. Precisamente, si trova un punto dell'asse del cilindro, vi si porta l'origine del riferimento e poi si ruota l'asse z fino a farlo coincidere con l'asse del cilindro. Qualcuno potrebbe dire : all'anima della semplificazione ...
Il fatto è che una trasformazione di coordinate che conservi l'origine si esprime con equazioni lineari che non cambiano il termine noto. Pertanto il termine noto che si cerca sarà quello che si trova alla fine del procedimento e tale rimarrà anche dopo una eventuale rotazione. Passiamo ai calcoli e troviamo l'asse del cilindro. Se $(l,m,n,0)$ è la generica direzione di $E^3$, il fascio di piani diametrali, polari di tale direzione, ha equazione :
$(l,m,n,0) cdot ((0,0,3,0),(0,0,4,0),(3,4,0,0),(0,0,0,-5)) cdot ((x),(y),(z),(t))=0$
Da cui :
$n(3x+4y)+k(z)=0$, avendo posto $3l+4m=k$
E dunque l'asse del cilindro ha equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases} 3x+4y=0\\z=0\end{cases} \)
Un punto dell'asse è (4,-3,0) e portandovi l'origine avremo le equazioni :
$x=x'+4,y=y'-3,z=z'$
Sostituendo nell'equazione della quadrica si ottiene ;
$6z'(x'+4)+8z'(y'-3)-5=0$ e cioè $6x'z'+8y'z'-5 =0$
Come si vede il "nuovo" termine noto è rimasto inalterato(=-5, cosa abbastanza prevedibile perché l'origine appartiene all'asse del cilindro). E dunque l'equazione canonica della quadrica è :
$Y^2-Z^2-1=0$
Il risultato sembra deludente ma ho pensato di fornire un metodo generale che potesse servire anche in circostanze meno scontate...
$alpha x^2+beta y^2+gamma z^2+delta=0$
dove $alpha,beta,gamma$ sono gli autovalori relativi ad una certa matrice e $ delta$ è dato da :
$delta= A/{A_{44}} $, essendo $A,A_{44}$ rispettivamente il det della matrice associata alla quadrica e del minore complementare di $a_{44}$ della suddetta matrice A rispettivamente. La formula precedente avrebbe risolto in nostro problema immediatamente ma sfortunatamente nel nostro caso è $A=A_{44}=0$ e quindi serve un'alternativa. Precisamente, si trova un punto dell'asse del cilindro, vi si porta l'origine del riferimento e poi si ruota l'asse z fino a farlo coincidere con l'asse del cilindro. Qualcuno potrebbe dire : all'anima della semplificazione ...
Il fatto è che una trasformazione di coordinate che conservi l'origine si esprime con equazioni lineari che non cambiano il termine noto. Pertanto il termine noto che si cerca sarà quello che si trova alla fine del procedimento e tale rimarrà anche dopo una eventuale rotazione. Passiamo ai calcoli e troviamo l'asse del cilindro. Se $(l,m,n,0)$ è la generica direzione di $E^3$, il fascio di piani diametrali, polari di tale direzione, ha equazione :$(l,m,n,0) cdot ((0,0,3,0),(0,0,4,0),(3,4,0,0),(0,0,0,-5)) cdot ((x),(y),(z),(t))=0$
Da cui :
$n(3x+4y)+k(z)=0$, avendo posto $3l+4m=k$
E dunque l'asse del cilindro ha equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases} 3x+4y=0\\z=0\end{cases} \)
Un punto dell'asse è (4,-3,0) e portandovi l'origine avremo le equazioni :
$x=x'+4,y=y'-3,z=z'$
Sostituendo nell'equazione della quadrica si ottiene ;
$6z'(x'+4)+8z'(y'-3)-5=0$ e cioè $6x'z'+8y'z'-5 =0$
Come si vede il "nuovo" termine noto è rimasto inalterato(=-5, cosa abbastanza prevedibile perché l'origine appartiene all'asse del cilindro). E dunque l'equazione canonica della quadrica è :
$Y^2-Z^2-1=0$
Il risultato sembra deludente ma ho pensato di fornire un metodo generale che potesse servire anche in circostanze meno scontate...
Grazie per il chiarimento, ora e' piu chiaro!
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