Forma bilineare e prodotto scalare

[Damuman]

Ciao ragazzi, sono sempre io. Scusate se stresso ma ho una lista di problemi in cui non riesco ad avere risposta nonostante i miei 6 libri di geometria che ho sul tavolo e appunti vari. Ho provato a guardare se erano già presenti queste risposte in questo forum e ne ho trovato solo uno ma senza risposta. Spero che qualche d'uno mi possa aiutare:

1°problema: Sia $f$ la forma bilineare su $RR^4$ associata in base canonica alla matrice:
$((1,0,0,0),(0,1,2,-1),(0,2,0,0),(0,-1,0,-1))$

Sia $W=(e_2 , e_1-e_2)$. Determinare $W \bot$. (soluzione: $W \bot = \{ (x,y,z,t) | x = 0 , y + 2 z - t = 0 \}$) non capisco se la devo associare alla matrice associata ad f si o no. Anche a me se metto a sistema solo la W viene più o meno così con le seguenti equazioni--->
$x=0$ ; $y+2z-t=0$ ; $2z=0$ ; $-z-t=0$ e la soluzione è $0$. Non ha molto senso pero. Vi prego spiegatemi come cavolo devo fare.

Inoltre chiede di controllare se $W nn W \bot = 0$ . Basta che interseco mettendo a sistema le varie equazioni???


2°problema: Sia $g$ il prodotto scalare su $RR^3$ rappresentato da $A=((2,0,0),(0,1,3),(0,3,10))$.
a)Calcolare la lunghezza del vettore $(1,1,1)$ e la distanza fra $(1,1,1)$ e $(0,3,0)$. (Soluzione $||v||^2= 19$ ; $dist^2(v,w)= ||w-v||^2=4$
b)Se $W$ è il sottospazio generato da $(1,2,1)$ e $(0,0,1)$, determinare $W \bot$. (Soluzione $W \bot = \{ (x,y,z,t) | 3y+10z=0 , 2x+5y+16z=0 \}$. Una sua base è $(1,-10,3)$. Questo non ci salto fuori. Ho provato a combinare in vari modi le matrici anche andando a tentavi ma niente da fare.


Grazie mille a tutti e allo staff. Questo forum è spettacolare.

[xdom="Seneca"]Ho sistemato le formule in modo da rendere più agevole la lettura del tuo problema e ho tolto "Help me" dal titolo in quanto violava il regolamento.[/xdom]

[Sigma11]

Dunque, se non ho capito male il testo dell'esercizio, tu sai che ad ogni forma bilineare puoi associare un prodotto scalare definito tramite la matrice della forma (chiamiamola \( A \) ) , in questo modo : \( = x^t A y \).
Quindi devi risolvere l'equazione vettoriale \( x^t A y = 0 \) con \( x \in W \). Visto che ogni \( \bar{x} \in W \) ha la forma \( \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu - \lambda \\0 \\0 \end{pmatrix} \), e prendiamo un qualunque \( \bar{y}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \\t \end{pmatrix} \) facendo i calcoli arrivi a quest'equazione :
\[ \bar{x}^t A \bar{y} = \lambda x + ( \mu - \lambda )( y +2z-t) = 0 \] da cui ottieni esattamente la soluzione cercata.
Per il secondo punto si, mettendo a sistema le condizioni di appartenenza ai due sottospazi ricavi in fretta che l'interesezione è banale.

Il secondo problema tutto sommato è molto simile al primo. Per il punto a) calcoli \( ^2= (v^t A v )^2\). E fai la stessa cosa con \( v - w \) per trovare la distanza tra i due vettori.
Per il punto b) svolgi la stessa operazione dell'esercizio precedente arrivando a:
\[ 2\lambda x + 2\lambda (y + 3z) + (\lambda + \mu )(3y + 10 z) \]
da cui, separando \( \lambda \) e \( \mu \) e raccogliendo per \( \lambda \) ottieni :
\[ \lambda ( 2x + 5y + 16 z ) + \mu (3y + 10 z)= 0 \]
e da qui concludi facilmente l'esercizio ^-^.

[Damuman]

"Sigma1":Dunque, se non ho capito male il testo dell'esercizio, tu sai che ad ogni forma bilineare puoi associare un prodotto scalare definito tramite la matrice della forma (chiamiamola \( A \) ) , in questo modo : \( = x^t A y \).
Quindi devi risolvere l'equazione vettoriale \( x^t A y = 0 \) con \( x \in W \). Visto che ogni \( \bar{x} \in W \) ha la forma \( \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu - \lambda \\0 \\0 \end{pmatrix} \), e prendiamo un qualunque \( \bar{y}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \\t \end{pmatrix} \) facendo i calcoli arrivi a quest'equazione :
\[ \bar{x}^t A \bar{y} = \lambda x + ( \mu - \lambda )( y +2z-t) = 0 \] da cui ottieni esattamente la soluzione cercata.
Per il secondo punto si, mettendo a sistema le condizioni di appartenenza ai due sottospazi ricavi in fretta che l'interesezione è banale.

Il secondo problema tutto sommato è molto simile al primo. Per il punto a) calcoli \( ^2= (v^t A v )^2\). E fai la stessa cosa con \( v - w \) per trovare la distanza tra i due vettori.
Per il punto b) svolgi la stessa operazione dell'esercizio precedente arrivando a:
\[ 2\lambda x + 2\lambda (y + 3z) + (\lambda + \mu )(3y + 10 z) \]
da cui, separando \( \lambda \) e \( \mu \) e raccogliendo per \( \lambda \) ottieni :
\[ \lambda ( 2x + 5y + 16 z ) + \mu (3y + 10 z)= 0 \]
e da qui concludi facilmente l'esercizio ^-^.

Gentilissimo e chiarissimo. Grazie mille!!!
Mi sono accorto di una cosa mentre lo rifacevo: Problema 1 (secondo punto) : se interseco le 4 equazioni che sono x=0;y+2z-t=0; y=0; x-y=0 non mi risulta un vettore nullo. Mi viene (0,0,1,2). Perché? cosa sbaglio?

[Quinzio]

Non sbagli nulla, semplicemente, in una forma bilineare su uno spazio $V$ è possibile che, dato $W$ un suo sottospazio, sia $W + ort(W) \ne \bb 0$

[Sigma11]

Vediamo un po', le ultime due condizioni che hai scritto non identificano il primo spazio. Piuttosto lo identificano le due equazioni \( z=t=0 \) perché un vettore di \(W\) ha sempre le ultime due componenti nulle. Quindi hai : \( x=z=t=0 \). La seconda componente in \( W \) non ha restrizioni, mentre sul secondo spazio c'è l'equazione \( y + 2z -t = 0 \), che, essendo \( z,t = 0 \), si trasforma in \( y=0 \) dandoti così la soluzione .

[Damuman]

Ok. grande!!! Grazie all'infinito!!!

[Damuman]

"Sigma1":Vediamo un po', le ultime due condizioni che hai scritto non identificano il primo spazio. Piuttosto lo identificano le due equazioni \( z=t=0 \) perché un vettore di \(W\) ha sempre le ultime due componenti nulle. Quindi hai : \( x=z=t=0 \). La seconda componente in \( W \) non ha restrizioni, mentre sul secondo spazio c'è l'equazione \( y + 2z -t = 0 \), che, essendo \( z,t = 0 \), si trasforma in \( y=0 \) dandoti così la soluzione .

Scusa se ti disturbo ancora...spero sia l'ultima volta (almeno per questo problema) ma ho trovato dei problemi anche per il secondo esercizio:
Ho trovato la lunghezza del vettore (1,1,1) e quindi mi risulta ||v||^2=19.
Invece per la distanza tra (1,1,1) e (0,3,0) ho fatto:
dist^2(v,w)= v(trasposta)*A*w ma non mi viene =4. Allora sono andato per tentativi e ho provato a calcolarmi w-v=(-1,2,-1) e poi fare (w-v)trasposta*A*(w-v) ma ancora niente da fare...
Non capisco. Mi puoi indicare i passaggi perfavore?
Grazie come sempre per il bellissimo lavoro che state facendo. Siete bravissimi!!!

[Sigma11]

Allora...andando a tentativi sei effettivamente arrivato alla soluzione giusta, però cerca di capire il significato geometrico delle operazioni piuttosto che andare a tentativi, perché una volta capito quello hai fatto quasi tutto il lavoro.
Col primo calcolo hai trovato semplicemente \( \), il secondo invece è giusto, e facendo i calcoli mi viene 4. Magari prova a ricontrollarli, oppure rifallo direttamente e sicuramente ti verrà giusto !

[Damuman]

Finalmente mi è venuto!!!! perfetto!!!!!!! Grazie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!