Forma bilineare: cambiamento di base
Siano $v=(v_1,...v_n)$ base di V e $w=(w_1,...,w_m)$ base di W.
Sia A la matrice della forma bilineare $g:VxW->C$ nelle basi v,w.
Sia $v'=(v_1,...v_n)H$ base di V e $w'=(w_1,...,w_m)K$ base di W con H,K$\in GL(C)$.
Come posso determinare la matrice di g nelle basi v',w'?
Sia A la matrice della forma bilineare $g:VxW->C$ nelle basi v,w.
Sia $v'=(v_1,...v_n)H$ base di V e $w'=(w_1,...,w_m)K$ base di W con H,K$\in GL(C)$.
Come posso determinare la matrice di g nelle basi v',w'?
Risposte
Se [tex]H=(h_{ij})_{i,j=1,\dots,n}\in GL_n(\mathbb{C})[/tex] e se [tex]K=(k_{ij})_{i,j=1,\dots,n}\in GL_m(\mathbb{C})[/tex], le due basi [tex]v'=(v'_1,\dots,v'_n)[/tex] e [tex]w'=(w'_1,\dots,w'_n)[/tex] sono, per definizione, tali che
[tex]$ v'_i=\sum_{r=1}^n h_{ri} v_r[/tex] con [tex]i=1,\dots,n[/tex]
[tex]$ w'_j=\sum_{s=1}^m k_{sj} w_s[/tex] con [tex]j=1,\dots,m[/tex].
Quindi la matrice associata a [tex]g[/tex] rispetto alle basi [tex]v'[/tex] e [tex]w'[/tex] è [tex]B=(b_{ij})\in M_{n,m}(\mathbb{C})[/tex] tale che per ogni [tex]i,j[/tex]
[tex]$b_{ij}=g(v'_i,w'_j)=g(\sum_{r=1}^n h_{ri} v_r ,\sum_{s=1}^m k_{sj} w_s )=\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^m h_{ri} k_{sj} g(v_r,w_s)[/tex]
[tex]$\ \ \ =\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^m h_{ri} k_{sj} a_{rs}[/tex].
dove ho denotato con [tex]A=(a_{rs})\in M_{n,m}(\mathbb{C})[/tex]
Qual è la matrice il cui elemento di posto [tex](i,j)[/tex] è [tex]$\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^m h_{ri} k_{sj} a_{rs}[/tex]?
Dovresti ottenere una matrice che dipende da [tex]A,H,K[/tex]...
[tex]$ v'_i=\sum_{r=1}^n h_{ri} v_r[/tex] con [tex]i=1,\dots,n[/tex]
[tex]$ w'_j=\sum_{s=1}^m k_{sj} w_s[/tex] con [tex]j=1,\dots,m[/tex].
Quindi la matrice associata a [tex]g[/tex] rispetto alle basi [tex]v'[/tex] e [tex]w'[/tex] è [tex]B=(b_{ij})\in M_{n,m}(\mathbb{C})[/tex] tale che per ogni [tex]i,j[/tex]
[tex]$b_{ij}=g(v'_i,w'_j)=g(\sum_{r=1}^n h_{ri} v_r ,\sum_{s=1}^m k_{sj} w_s )=\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^m h_{ri} k_{sj} g(v_r,w_s)[/tex]
[tex]$\ \ \ =\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^m h_{ri} k_{sj} a_{rs}[/tex].
dove ho denotato con [tex]A=(a_{rs})\in M_{n,m}(\mathbb{C})[/tex]
Qual è la matrice il cui elemento di posto [tex](i,j)[/tex] è [tex]$\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^m h_{ri} k_{sj} a_{rs}[/tex]?
Dovresti ottenere una matrice che dipende da [tex]A,H,K[/tex]...
Grazie!
Io ho fatto un ragionamento meno dettagliato.
$g(x,y)=x^tAy=(Hx')^tA(Ky')=x'^tH^tAKy'$.
Quindi la matrice dell'applicazione bilineare nelle nuove basi è $H^tAK$.
Può andare?
Io ho fatto un ragionamento meno dettagliato.
$g(x,y)=x^tAy=(Hx')^tA(Ky')=x'^tH^tAKy'$.
Quindi la matrice dell'applicazione bilineare nelle nuove basi è $H^tAK$.
Può andare?
Sì, può andare nella sostanza, ma specifica chi sono $x,y,x',y'$, che cos'è per definizione la matrice associata rispetto a due basi...
x e y sono lo coordinate di v e w nelle basi iniziali, x' e y' nelle basi finali. la matrice associata rispetto a due basi è la matrice che identifica completamente la forma bilineare calcolata su tutte le coppie di vettori di base.
ho un altro dubbio: data A matrice di una forma bilineare simmetrica, chi è la matrice ottenuta dimezzando tutte le entrate di A che non stanno nella diagonale? ha qualcosa a che fare con le forme quadratiche?
ho un altro dubbio: data A matrice di una forma bilineare simmetrica, chi è la matrice ottenuta dimezzando tutte le entrate di A che non stanno nella diagonale? ha qualcosa a che fare con le forme quadratiche?
Come spesso accade, c'è un po' di confusione fra vettori di uno spazio vettoriale e [tex]n[/tex]-upla (o [tex]m[/tex]-upla) delle componenti rispetto ad una base.
Tu scrivi
[tex]g:V\times W\to\mathbb{R}[/tex]
Quindi l'applicazione associa ad una coppia di vettori un numero reale. Ti contraddici quando scrivi:
[tex]g(x,y)=...=x'^tH^tAKy'[/tex].
Ora [tex]g[/tex] è calcolata nella [tex]n[/tex]-upla [tex]x[/tex] e nella [tex]m[/tex]-upla [tex]y[/tex].
Ma abbiamo appena detto che [tex]g[/tex] "prende in input" vettori e non coordinate!
Con la tua scrittura
intendi dire che se ho la coppia di vettori [tex](u,t)[/tex] dove [tex]u\in V[/tex] ha componenti [tex]x[/tex] rispetto alla base [tex]v[/tex] e [tex]x'[/tex] rispetto alla base [tex]v'[/tex] e dove [tex]t\in W[/tex] ha componenti [tex]y[/tex] rispetto alla base [tex]w[/tex] e [tex]y'[/tex] rispetto alla base [tex]w'[/tex], allora [tex]g[/tex] associa ad [tex](u,t)[/tex] il numero reale [tex]x'^tH^tAKy'[/tex].
E questo ti dice che la matrice associata a [tex]g[/tex] rispetto alle basi [tex]v,w[/tex] e [tex]H^tAK[/tex].
Insomma, secondo me, ciò che scrivi è giusto nella sostanza, ma è necessario che siano chiari fino in fondo i simboli che stai utilizzando.
Tu scrivi
[tex]g:V\times W\to\mathbb{R}[/tex]
Quindi l'applicazione associa ad una coppia di vettori un numero reale. Ti contraddici quando scrivi:
[tex]g(x,y)=...=x'^tH^tAKy'[/tex].
Ora [tex]g[/tex] è calcolata nella [tex]n[/tex]-upla [tex]x[/tex] e nella [tex]m[/tex]-upla [tex]y[/tex].
Ma abbiamo appena detto che [tex]g[/tex] "prende in input" vettori e non coordinate!
Con la tua scrittura
"thedarkhero":
$g(x,y)=x^tAy=(Hx')^tA(Ky')=x'^tH^tAKy'$.
intendi dire che se ho la coppia di vettori [tex](u,t)[/tex] dove [tex]u\in V[/tex] ha componenti [tex]x[/tex] rispetto alla base [tex]v[/tex] e [tex]x'[/tex] rispetto alla base [tex]v'[/tex] e dove [tex]t\in W[/tex] ha componenti [tex]y[/tex] rispetto alla base [tex]w[/tex] e [tex]y'[/tex] rispetto alla base [tex]w'[/tex], allora [tex]g[/tex] associa ad [tex](u,t)[/tex] il numero reale [tex]x'^tH^tAKy'[/tex].
E questo ti dice che la matrice associata a [tex]g[/tex] rispetto alle basi [tex]v,w[/tex] e [tex]H^tAK[/tex].
Insomma, secondo me, ciò che scrivi è giusto nella sostanza, ma è necessario che siano chiari fino in fondo i simboli che stai utilizzando.
"thedarkhero":
x e y sono lo coordinate di v e w nelle basi iniziali, x' e y' nelle basi finali
è quello che avevo detto no?
più che altro spesso chiamo vettori le n-uple di coordinate, questo si...ci farò attenzione
Riguardo la particolare matrice di cui chiedevo sopra, cosa può rappresentare?
"thedarkhero":
[quote="thedarkhero"]x e y sono lo coordinate di v e w nelle basi iniziali, x' e y' nelle basi finali
è quello che avevo detto no?
più che altro spesso chiamo vettori le n-uple di coordinate, questo si...ci farò attenzione
[/quote]Sì, avevo capito. Era solo per dirti di fare attenzione quando scrivi $g(x,y)$.
Vabbè credo che ci siamo capiti
"thedarkhero":
ho un altro dubbio: data A matrice di una forma bilineare simmetrica, chi è la matrice ottenuta dimezzando tutte le entrate di A che non stanno nella diagonale? ha qualcosa a che fare con le forme quadratiche?
A partire dalla forma quadratica, puoi ottenere la forma bilineare simmetrica corrispondente.
E per fare ciò, scrivi la matrice che al posto [tex](i,j)[/tex] ha il coefficiente di [tex]$ x_ix_j[/tex] che è dimezzato se [tex]i\neq j[/tex].
Quindi ad esempio se ho la forma quadratica $Q:RR^3->RR$,$Q(x)=alphax_1^2+betax_2x_3$ la matrice della forma bilineare simmetrica associata è $((alpha,0,0),(0,0,beta/2),(0,beta/2,0))$. Giusto?
"thedarkhero":
Giusto?
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