Forma Bilineare
Una domanda veloce ma data due forma bilineare $B$ e $B'$ allora data la base canonica $E$ allora $B(Ei,Ei)$ = $B'(Ei,Ei)$ ?
Risposte
Le forme bilineari si possono rappresentare con matrici. Quindi stai chiedendo se è vero che due arbitrarie matrici hanno per forza gli stessi elementi diagonali. Evidentemente la risposta è no.
Stavo studiando il fatto che ad una forma quadratica è associata una ed una sola forma bilineare simmetrica.
Ad un certo punto della dimostrazione si suppone per assurdo che vi siano due forme bilineare simmetriche associate alla stessa forma quadratica.
Lo scrivo così ogni arcano viene svelato
.
Tesi:
Data una forma quadratica $H(x)$ definita su uno spazio vettoriale,ad essa è associata una ed una sola forma bilineare simmetrica.
Dimostrazione:
Poichè $H(x)$ è una forma quadratica per definizione esiste una forma bilineare del tipo $a(x,x)=H(x)$
Ponendo dunque:
$B(x,y)=(1/2)*(a(x,y)+a(y,x))$ si nota subito che $B$ è la forma bilineare simmetrica cercata coincidente con $H$ una volta posto $x=y$.
Per quanto riguarda l'unicità:
Si supponga per assurdo che $B$ e $B'$ siano due forme bilineari simmetriche coincidenti con $H(x)$, risulta quindi:
$B(ei+ej,ei+ej) =B'(ei+ej,ei+ej)$ sfruttando la bilinearità e la simmetria si ottiene:
$B(ei,ei)+B(ej,ej)+2B(ei,ej)= B'(ei,ei)+B'(ej,ej)+2B'(ei,ej)$
A questo punto sarà : $B(ei,ei)=B'(ei,ei)$ e $B(ej,ej)=B'(ej,ej)$ e infine $2B(ei,ej)=2B'(ei,ej)$ .
Ma questo $B(ei,ei)=B'(ei,ei)$ e $B(ej,ej)=B'(ej,ej)$ perchè vale?Per la definizione stessa di forma bilineare?
Ad un certo punto della dimostrazione si suppone per assurdo che vi siano due forme bilineare simmetriche associate alla stessa forma quadratica.
Lo scrivo così ogni arcano viene svelato
.Tesi:
Data una forma quadratica $H(x)$ definita su uno spazio vettoriale,ad essa è associata una ed una sola forma bilineare simmetrica.
Dimostrazione:
Poichè $H(x)$ è una forma quadratica per definizione esiste una forma bilineare del tipo $a(x,x)=H(x)$
Ponendo dunque:
$B(x,y)=(1/2)*(a(x,y)+a(y,x))$ si nota subito che $B$ è la forma bilineare simmetrica cercata coincidente con $H$ una volta posto $x=y$.
Per quanto riguarda l'unicità:
Si supponga per assurdo che $B$ e $B'$ siano due forme bilineari simmetriche coincidenti con $H(x)$, risulta quindi:
$B(ei+ej,ei+ej) =B'(ei+ej,ei+ej)$ sfruttando la bilinearità e la simmetria si ottiene:
$B(ei,ei)+B(ej,ej)+2B(ei,ej)= B'(ei,ei)+B'(ej,ej)+2B'(ei,ej)$
A questo punto sarà : $B(ei,ei)=B'(ei,ei)$ e $B(ej,ej)=B'(ej,ej)$ e infine $2B(ei,ej)=2B'(ei,ej)$ .
Ma questo $B(ei,ei)=B'(ei,ei)$ e $B(ej,ej)=B'(ej,ej)$ perchè vale?Per la definizione stessa di forma bilineare?
"edge":No, perché stai supponendo che $B$ e $B'$ inducano la stessa forma quadratica. In altre parole l'ipotesi è la seguente:
Ma questo $B(ei,ei)=B'(ei,ei)$ e $B(ej,ej)=B'(ej,ej)$ perchè vale?Per la definizione stessa di forma bilineare?
[tex]B(x,x) = H(x) = B'(x,x)[/tex] per ogni [tex]x[/tex].
Nella dimostrazione lo hai applicato prima con [tex]x=e_i+e_j[/tex], poi alla fine con [tex]x=e_i[/tex] e con [tex]x=e_j[/tex].
Ok ci sono ti ringrazio..
Prego 
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