Forma bilineare
Sia V uno spazio vettoriale reale di dim 3 riferito ad una base B=(v1,v2,v3).
Sarà la funzione Q:VxV->R definita da
Q (x,y)=2 (x1y1+x2y2+x3y3)-(x1y3+x3y1)
Con x=x1v1+x2v2+x3v3 e y=y1v1+y2v2+y3v3, verificare che (V,Q) è uno spazio vettoriale euclideo e trovarne una base ortonormale rispetto a Q.
Ho verificato che (V,Q) è uno spazio vettoriale euclideo trovando la matrice associata a Q e verificando che i 3 autovalori trovati hanno molteplicità pari a 1.
Come faccio ora a trovare la base non conoscendo v1,v2,v3?
Grazie a chi mi da una mano
Sarà la funzione Q:VxV->R definita da
Q (x,y)=2 (x1y1+x2y2+x3y3)-(x1y3+x3y1)
Con x=x1v1+x2v2+x3v3 e y=y1v1+y2v2+y3v3, verificare che (V,Q) è uno spazio vettoriale euclideo e trovarne una base ortonormale rispetto a Q.
Ho verificato che (V,Q) è uno spazio vettoriale euclideo trovando la matrice associata a Q e verificando che i 3 autovalori trovati hanno molteplicità pari a 1.
Come faccio ora a trovare la base non conoscendo v1,v2,v3?
Grazie a chi mi da una mano
Risposte
Nessuno? 
Conosci il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt? Puoi usarlo a partire dalla base $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ per costruire una base ortonormale $B'=\{e_1,e_2,e_3\}$.
Per come è definito, il prodotto scalare $Q=Q_B$ in generale cambia in base alla scelta di $B$ e quindi anche $e_1$, $e_2$, $e_3$ cambiano, ma non cambia la matrice di cambiamento di base da $B$ alla $B'$ costruita con Gram-Schmidt.
Per come è definito, il prodotto scalare $Q=Q_B$ in generale cambia in base alla scelta di $B$ e quindi anche $e_1$, $e_2$, $e_3$ cambiano, ma non cambia la matrice di cambiamento di base da $B$ alla $B'$ costruita con Gram-Schmidt.
Però con gram -Schmidt devo conoscere v1,v2 e v3 mentre io non li conosco giusto?
No, per applicare Gram-Schmidt ti basta conoscere $Q(v_1,v_1)$, $Q(v_1,v_2)$, $Q(v_2,v_2)$ eccetera. Per come è definito il prodotto scalare, questa informazione c'è: $Q(v_1,v_1)=Q(v_2,v_2)=Q(v_3,v_3)=2$, $Q(v_1,v_2)=0$ e così via.
Per esempio, il primo vettore della base ortonormale costruita con Gram-Schmidt è $e_1=\frac{v_1}{\sqrt{Q(v_1,v_1)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}v_1$.
Per esempio, il primo vettore della base ortonormale costruita con Gram-Schmidt è $e_1=\frac{v_1}{\sqrt{Q(v_1,v_1)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}v_1$.
Ma come risultato mi da
B'=( $ ( 1/(√2) \ \ 0 \ \ 1/(√2) ) $ , $ ( 0 \ \ 1/(√2) \ \ 0 ) $ , $ ( -1/(√6) \ \ 0 \ \ 1/(√6) ) $ )
B'=( $ ( 1/(√2) \ \ 0 \ \ 1/(√2) ) $ , $ ( 0 \ \ 1/(√2) \ \ 0 ) $ , $ ( -1/(√6) \ \ 0 \ \ 1/(√6) ) $ )
Quel risultato può essere ottenuto normalizzando tre autovettori della matrice associata a $Q$, dato che autovettori relativi ad autovalori distinti sono già ortogonali. Metodi diversi ti possono dare soluzioni diverse, visto che le basi ortonormali sono infinite 
Cosi facendo il primo vettore della base mi viene,
Il secondo pero mi viene (0,1,0) ed il terzo (-1/√2,0,1/√2).. cosa sbaglio?
Il secondo pero mi viene (0,1,0) ed il terzo (-1/√2,0,1/√2).. cosa sbaglio?
Dunque, la matrice $A$ che rappresenta $Q$ rispetto a $B$ è \begin{bmatrix}2&0&-1\\0&2&0\\-1&0&2\end{bmatrix}
Gli autovalori di $A$ sono 1, 2 e 3. Autovettori di $A$ relativi a questi tre autovalori sono rispettivamente $(1,0,1)$, $(0,1,0)$, $(-1,0,1)$, il che significa che i vettori $u_1=v_1+v_3$, $u_2=v_2$, $u_3=-v_1+v_3$ sono una base di vettori ortogonali rispetto a $Q$. Fino a qui, penso che i calcoli corrispondano con i tuoi.
Ora, $(1,0,1)$ è il vettore delle coordinate di $u_1$ rispetto alla base $B$, quindi dalla definizione di $Q$ segue $Q(u_1,u_1)=2(1+0+1)-(1+1)=2$. In modo analogo, $Q(u_2,u_2)=2(0+1+0)-(0+0)=2$ e $Q(u_3,u_3)=2(1+0+1)-(-1-1)=6$.
Perciò $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}u_1$, $e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}u_2$, $e_3=\frac{1}{\sqrt{6}}u_3$ formano una base ortonormale rispetto a $Q$, e i loro vettori delle coordinate rispetto alla base $B$ sono $(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(0,\frac{1}{\sqrt{2}},0)$, $(-\frac{1}{\sqrt{6}},0,\frac{1}{\sqrt{6}})$.
Dal risultato che riporti, credo che l'errore che hai commesso sia stato calcolare $Q(u_1,u_1)$, $Q(u_2,u_2)$, $Q(u_3,u_3)$ come $1^2+0^2+1^2$, $0^2+1^2+0^2$, $(-1)^2+0^2+1^2$, cioè calcolare i prodotti scalari standard \[ \begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=2 \qquad \begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=1 \qquad \begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}=2 \] mentre invece avresti dovuto calcolare \[ \begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=2 \qquad \begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=2 \qquad \begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}=6 \] (che sono i tre prodotti scalari standard moltiplicati per i tre autovalori di $A$).
Gli autovalori di $A$ sono 1, 2 e 3. Autovettori di $A$ relativi a questi tre autovalori sono rispettivamente $(1,0,1)$, $(0,1,0)$, $(-1,0,1)$, il che significa che i vettori $u_1=v_1+v_3$, $u_2=v_2$, $u_3=-v_1+v_3$ sono una base di vettori ortogonali rispetto a $Q$. Fino a qui, penso che i calcoli corrispondano con i tuoi.
Ora, $(1,0,1)$ è il vettore delle coordinate di $u_1$ rispetto alla base $B$, quindi dalla definizione di $Q$ segue $Q(u_1,u_1)=2(1+0+1)-(1+1)=2$. In modo analogo, $Q(u_2,u_2)=2(0+1+0)-(0+0)=2$ e $Q(u_3,u_3)=2(1+0+1)-(-1-1)=6$.
Perciò $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}u_1$, $e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}u_2$, $e_3=\frac{1}{\sqrt{6}}u_3$ formano una base ortonormale rispetto a $Q$, e i loro vettori delle coordinate rispetto alla base $B$ sono $(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(0,\frac{1}{\sqrt{2}},0)$, $(-\frac{1}{\sqrt{6}},0,\frac{1}{\sqrt{6}})$.
Dal risultato che riporti, credo che l'errore che hai commesso sia stato calcolare $Q(u_1,u_1)$, $Q(u_2,u_2)$, $Q(u_3,u_3)$ come $1^2+0^2+1^2$, $0^2+1^2+0^2$, $(-1)^2+0^2+1^2$, cioè calcolare i prodotti scalari standard \[ \begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=2 \qquad \begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=1 \qquad \begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}=2 \] mentre invece avresti dovuto calcolare \[ \begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=2 \qquad \begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=2 \qquad \begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}=6 \] (che sono i tre prodotti scalari standard moltiplicati per i tre autovalori di $A$).
Okok ora ho capito! Grazie mille sei stato chiarissimo
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