Finezza di una topologia
Ciao a tutti, avendo incontrato il concetto di finezza sto cercando di confrontare tra loro le varie topologie che conosco.
E' corretto dire che la topologia banale è la meno fine in assoluto, dato che per definizione l'insieme $X$ e l'insieme vuoto sono contenuti in ogni topologia, mentre al contrario la topologia discreta è la più fine in assoluto perché l'insieme delle parti contiene ogni possibile sottoinsiemi $X$?
Invece, la topologia euclidea sarebbe più fine di quella dei dischi perché un disco è un caso particolare di intorno di raggio $r$ centrato in $p=0$; allo stesso modo è più fine della topologia delle semirette perché una semiretta può essere vista come un intorno sinistro di un punto $a$ della retta.
Fila?
Per quanto riguarda il confronto tra la topologia dei dischi e quella delle semirette: intuitivamente riesco a vedere che non sono confrontabili, ma come lo posso mostrare rigorosamente? E' perché un disco non può essere ricondotto ad una semiretta, e viceversa?
E' corretto dire che la topologia banale è la meno fine in assoluto, dato che per definizione l'insieme $X$ e l'insieme vuoto sono contenuti in ogni topologia, mentre al contrario la topologia discreta è la più fine in assoluto perché l'insieme delle parti contiene ogni possibile sottoinsiemi $X$?
Invece, la topologia euclidea sarebbe più fine di quella dei dischi perché un disco è un caso particolare di intorno di raggio $r$ centrato in $p=0$; allo stesso modo è più fine della topologia delle semirette perché una semiretta può essere vista come un intorno sinistro di un punto $a$ della retta.
Fila?
Per quanto riguarda il confronto tra la topologia dei dischi e quella delle semirette: intuitivamente riesco a vedere che non sono confrontabili, ma come lo posso mostrare rigorosamente? E' perché un disco non può essere ricondotto ad una semiretta, e viceversa?
Risposte
E' corretto dire che la topologia banale è la meno fine in assoluto, dato che per definizione l'insieme $X$ e l'insieme vuoto sono contenuti in ogni topologia, mentre al contrario la topologia discreta è la più fine in assoluto perché l'insieme delle parti contiene ogni possibile sottoinsiemi $X$?Questo è vero
Invece, la topologia euclidea sarebbe più fine di quella dei dischi perché un disco è un caso particolare di intorno di raggio $r$ centrato in $p=0$;
Come è definita la topologia dei dischi?
E' definita come $tau_d={Ø} uu {RR^n} uu {B_R(0)}$
Dubito sia una topologia.
"otta96":
Dubito sia una topologia.
Beh, è una famiglia di sottoinsiemi chiusa per unioni arbitrarie e intersezioni finite, non serve molto altro.
La topologia euclidea è questa, in cui però il centro dei dischi è libero di variare (quindi gli aperti di $\tau_d$ sono molti meno).
Ahhhhhhhhhhhhh, non avevo visto che il centro era fisso, errore mio, scusate 
"killing_buddha":
La topologia euclidea è questa, in cui però il centro dei dischi è libero di variare (quindi gli aperti di τd sono molti meno).
Perfetto, quindi su questo siamo a posto. Per l'ultimo (non) confronto invece?
"Leo S.":
[quote="killing_buddha"]La topologia euclidea è questa, in cui però il centro dei dischi è libero di variare (quindi gli aperti di τd sono molti meno).
Perfetto, quindi su questo siamo a posto. Per l'ultimo (non) confronto invece?[/quote]
Le topologie su un insieme sono un insieme parzialmente ordinato dall'inclusione in $2^{2^X}$, e allora per definizione una topologia è più fine dell'altra se ogni elemento dell'una è un elemento dell'altra. Ora però
[*:1xeffdf7] Non è possibile che $\tau_d \subseteq \tau_s$, perché un aperto della forma $B_R(0)$ non può essere della forma $(x,+\infty)$ (il primo insieme ha maggioranti, il secondo no).[/*:m:1xeffdf7]
[*:1xeffdf7] Per lo stesso motivo non è possibile che $\tau_s \subseteq \tau_d$.[/*:m:1xeffdf7][/list:u:1xeffdf7]
Ottimo, come immaginavo. Grazie mille!
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