$f,g$ lineari, per quali $k \in RR$ f=g?
Salve ragazzi , ho le seguenti due applicazioni :
$f,g : RR^3 -> RR^3 $ endomorfismi associati rispettivamente alle matrici
$A=((1,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1))$(associata ad f) rispetto alla base canonica e $B=((1,0,-1),(0,k,0),(0,0,k))$ , $k \in RR$ associata a $g$ rispetto alla base $C={w_1=(1,0,0),w_2=(0,1,-1),w_3=(-1,0,1)}$.
Mi chiede di stabilire per quali $k \in RR : f=g$.
Allora, essendo $f,g$ due applicazioni lineari si ha che $f=g$ se e solo se , fissata una base $B={v_1,v_2,v_3}$ di $RR^3$ ,si ha che $f(v_i)=g(v_i) , AA \in {1,2,3}$.
Considero $C$ base fissata. Voglio trovare $k \in RR$ che $AA v \in C : f(v)=g(v)$.
Ho che
$f(1,0,0)=(1,0,0)=g(1,0,0)$ (1)
$f(0,1,-1)=f(0*e_1+1e_2+(-1)e_3)=f(e_2)-f(e_3)=(1,-1,0)-(1,0,-1)=(0,-1,1) = $$g(0,1,-1)=0*w_1+kw_2+0w_3=(0,k,-k)$ (2)
$f(-1,0,1)=-f(e_1)+f(e_3)=(-1,0,0)+(1,0,-1)=(0,0,-1)=g(-1,0,1)=-1w_1+kw_3=(-1-k,0,k)$ (3)
Da (1) , (2) e (3) si evince che $f=g <=> k=-1$. Vi sembra corretto?
Esiste un modo più veloce per risolvere questa tipologia di esercizio? Stavo pensando, ad esempio , se riuscissi a trovare la matrice associata a $g$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ , il tutto si concluderebbe con una semplice uguaglianza tra matrici ma comunque dovrei calcolarmi $g(e_i)$ .. lavoraccio abbastanza lungo.
Grazie mille.
$f,g : RR^3 -> RR^3 $ endomorfismi associati rispettivamente alle matrici
$A=((1,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1))$(associata ad f) rispetto alla base canonica e $B=((1,0,-1),(0,k,0),(0,0,k))$ , $k \in RR$ associata a $g$ rispetto alla base $C={w_1=(1,0,0),w_2=(0,1,-1),w_3=(-1,0,1)}$.
Mi chiede di stabilire per quali $k \in RR : f=g$.
Allora, essendo $f,g$ due applicazioni lineari si ha che $f=g$ se e solo se , fissata una base $B={v_1,v_2,v_3}$ di $RR^3$ ,si ha che $f(v_i)=g(v_i) , AA \in {1,2,3}$.
Considero $C$ base fissata. Voglio trovare $k \in RR$ che $AA v \in C : f(v)=g(v)$.
Ho che
$f(1,0,0)=(1,0,0)=g(1,0,0)$ (1)
$f(0,1,-1)=f(0*e_1+1e_2+(-1)e_3)=f(e_2)-f(e_3)=(1,-1,0)-(1,0,-1)=(0,-1,1) = $$g(0,1,-1)=0*w_1+kw_2+0w_3=(0,k,-k)$ (2)
$f(-1,0,1)=-f(e_1)+f(e_3)=(-1,0,0)+(1,0,-1)=(0,0,-1)=g(-1,0,1)=-1w_1+kw_3=(-1-k,0,k)$ (3)
Da (1) , (2) e (3) si evince che $f=g <=> k=-1$. Vi sembra corretto?
Esiste un modo più veloce per risolvere questa tipologia di esercizio? Stavo pensando, ad esempio , se riuscissi a trovare la matrice associata a $g$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ , il tutto si concluderebbe con una semplice uguaglianza tra matrici ma comunque dovrei calcolarmi $g(e_i)$ .. lavoraccio abbastanza lungo.
Grazie mille.
Risposte
mi sembra che il ragionamento sia corretto... Io però avrei fatto come hai detto te alla fine con la matrice di cambio di base! non sarebbe stato così lungo! poi comunque sono gusti personali! 
si poteva anche ragionare in questo modo :
sia $B$ la base dell'esercizio e sia $D$ quella canonica.
Vale che $T^D(g) = T_D^B(Id)T^B(g)T_B^D(id) = T_D^B(Id)T^B(g) (T_D^B(Id))^-1$
Dove $T_D^B(id)=((1,0,-1),(0,1,0),(0,-1,1))$ e $(T_D^B(Id))^-1 = ((1,1,1),(0,1,0),(0,1,1))$
Dunque , eseguendo tutti i calcoletti si ha :
$T^D(g)=((1,-k,-k),(0,k,0),(0,0,k))$. Ed effettivamente, eguagliando $T^D$ con $A$ si ritrovano le soluzioni precedenti.
sia $B$ la base dell'esercizio e sia $D$ quella canonica.
Vale che $T^D(g) = T_D^B(Id)T^B(g)T_B^D(id) = T_D^B(Id)T^B(g) (T_D^B(Id))^-1$
Dove $T_D^B(id)=((1,0,-1),(0,1,0),(0,-1,1))$ e $(T_D^B(Id))^-1 = ((1,1,1),(0,1,0),(0,1,1))$
Dunque , eseguendo tutti i calcoletti si ha :
$T^D(g)=((1,-k,-k),(0,k,0),(0,0,k))$. Ed effettivamente, eguagliando $T^D$ con $A$ si ritrovano le soluzioni precedenti.
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