Fattorizzazione lu

[Linux1987]

La fattorizzazione lu di una matrice è possibile farla solo a matrici quadrate? Inoltre data una matrice la sua fattorizzazione lu è unica? si accettano risposte e spiegazioni di queste ultime grazie mille !

[vict85]

La risposta è no ad entrambe.

Per la prima comunque il risultato non saranno più due triangolari ma una triangolare e un trapezoidale (non so se il termine è corretto). Comunque se conosci come si dimostra che la fattorizzazione esiste allora sai come si crea la trapezoidale. In genere comunque non risulta molto utile usarla su matrici non quadrate.

La fattorizzazione è unica a meno della moltiplicazione per una matrice diagonale invertibile. Se \(\displaystyle D \) è una matrice diagonale invertibile allora \(\displaystyle (LD)(D^{-1}U) = LU = A \) e \(\displaystyle LD \) e \(\displaystyle D^{-1}U \) sono matrici triangolari.

[Linux1987]

scusami io so che è nel caso delle matrici quadrate se la matrice è non singolare. mentre se è singolare'??

[vict85]

Beh, le cose si complicano. In quel caso non sempre è possibile ( http://arxiv.org/abs/math.NA/0506382 ). Comunque in genere si fa solo su matrici quadrate invertibili; al massimo si considerano diagonali con proprietà diverse.

[Linux1987]

non mi dire nulla, ma non eccedo in inglese potresti riassumermi brevemente cosa dice ?? o magari qualche dispensa in italiano, ti ringrazio!

[vict85]

Sono varie condizioni sul rango che non conosco bene. Praticamente ogni dispensa o libro (in tutte le lingue che conosco) che conosco tratta solamente il caso quadrato non singolare. Il rettangolare è una sorta di LU incompleta nel senso che si potrebbe pensare come una LU di una quadrata non singolare che contiene come sottomatrice la matrice rettangolare.