Fascio proprio dei piani di simmetria di una quadrica
Ciao a tutti, ho provato a fare a meno di aprire un topic per questo, ma proprio da nessuna parte e in alcun modo sono riuscita a risolvere questo "problema" che comunque di volta in volta si ripresenta...quindi mi sono decisa a chiedere delucidazioni!
Ho una quadrica di equazione $2x^2 -y^2-z^2+2x+1=0$ e devo determinare l'equazione del fascio proprio costituito dai piani di simmetria. So come si determinano gli assi di simmetria, le direzioni corrispondono con quelle degli autovettori relativi agli autovalori non nulli della matrice associata alla quadrica, ma quando non si tratta più di assi, ma di piani, entro nel pallone. Se l'autovalore ha molteplicità algebrica pari a due allora l'autospazio corrispondente avrà dimensione due, quindi una base per questo spazio vettoriale è costituita da due vettori linearmente indipendenti, i quali identificano un piano. Ma c'è qualcosa che non mi convince, perché quando faccio gli esercizi quello che trovo non ha mai senso. Come faccio a scrivere il piano di simmetria?! E, in questo caso specifico, come scrivo il fascio improprio costituito da questi piani?
Grazie mille...
Ho una quadrica di equazione $2x^2 -y^2-z^2+2x+1=0$ e devo determinare l'equazione del fascio proprio costituito dai piani di simmetria. So come si determinano gli assi di simmetria, le direzioni corrispondono con quelle degli autovettori relativi agli autovalori non nulli della matrice associata alla quadrica, ma quando non si tratta più di assi, ma di piani, entro nel pallone. Se l'autovalore ha molteplicità algebrica pari a due allora l'autospazio corrispondente avrà dimensione due, quindi una base per questo spazio vettoriale è costituita da due vettori linearmente indipendenti, i quali identificano un piano. Ma c'è qualcosa che non mi convince, perché quando faccio gli esercizi quello che trovo non ha mai senso. Come faccio a scrivere il piano di simmetria?! E, in questo caso specifico, come scrivo il fascio improprio costituito da questi piani?
Grazie mille...
Risposte
stai per caso parlando dei piani principali vero?
Se l'autovalore è doppio allora abbiamo un fascio di piani principali, il cui asse è dato dai piani principali individuati dai vettori che generano l'autospazio relativo.
Detta $A$ la matrice della quadrica e $v_1=(x,y,z),v_2(x',y',z')$ i vettori che generano l'autospazio relativo all'autovalore $lambda$, allora i coefficienti dei piani principali saranno dati rispettivamente da $A*((x),(y),(z),(0))$ e $A*((x'),(y'),(z'),(0))$. Pertanto intersecando i due piani otterrai l'asse del fascio di piani principali.
Spero di aver risposto alla tua domanda.
Se l'autovalore è doppio allora abbiamo un fascio di piani principali, il cui asse è dato dai piani principali individuati dai vettori che generano l'autospazio relativo.
Detta $A$ la matrice della quadrica e $v_1=(x,y,z),v_2(x',y',z')$ i vettori che generano l'autospazio relativo all'autovalore $lambda$, allora i coefficienti dei piani principali saranno dati rispettivamente da $A*((x),(y),(z),(0))$ e $A*((x'),(y'),(z'),(0))$. Pertanto intersecando i due piani otterrai l'asse del fascio di piani principali.
Spero di aver risposto alla tua domanda.
Grazie per la risposta. Ho provato a seguire i tuoi suggerimenti, ma quello che trovo non mi convince. Allora, i due vettori sono $v_1=((0),(1),(0))$ e $v_2=((0),(0),(1))$, si tratta di svolgere il prodotto $^tv_1A*((x),(y),(z),(1))$ e porlo uguale a $0$ per ottenere l'equazione di un piano, e fare la stessa cosa con l'altro vettore, è corretto? Ottengo i due piani $y=0$ e $z=0$. Il fascio è $lambday +muz=0$?
Sì, anche a me i piani escono quelli e di conseguenza il fascio.
Perfetto, grazie mille.. c'è una seconda parte dell'esercizio che non potevo fare perché serviva l'equazione del fascio. Pensavo che ce l'avrei fatta.....e invece no purtroppo. Domani la posto.
Ciao, potresti spiegarmi una cosa? quando hai scritto le componenti del vettore hai messo come ultima componente lo $0$, mentre a me in coordinate proiettive verrebbe spontaneo mettere l'$1$. Cosa mi sfugge?! Perdona la domanda stupida
Un piano $pi$ è piane principale per $Q$ se $pi=pi_(A_infty)$ e $A_infty \bot pi$. Quindi cerchiamo in definitiva, come tu hai detto, un punto improprio che ne individui la direzione perpendicolare al loro piano polare.
Quindi essendo un punto improprio l'ultima coordinata è $0$
Quindi essendo un punto improprio l'ultima coordinata è $0$
quindi si mette lo zero sia come ultima componente del vettore $v_1$ che nel vettore $((x),(y),(z))$? ....
No, solo nella terna che ne indica la direzione.
Grazie, ora mi è tutto più chiaro.
Figurati è un piacere 
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