Fascio di rette: tutte tranne per $s =$ Infinito.Perchè?

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Un fascio di rette è determinato dalla combinazione lineare di due rette del fascio:

es: $y - 2x - 3 = 0$
$\ \ \ \ \ \2x + 3y + 4 = 0$

Il fascio sarà dato da:

$y - 2x - 3 + s(2x + 3y + 4) = 0$

In questo modo sono individuato tutte le rette del fascio trannne la retta per cui $s$ vale infinito (cioè $2x + 3y + 4 = 0$).

CHE SIGNIFICA? MA SE $S$ = INFINITO LA RETTA PERCHè VALE $0$?

GRAZIE...

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Attento: "s vale infinito" è una convenzione di scrittura, o se vuoi, un 'modo di pensare'. L'infinito non è un numero reale.

Il fatto è che il fascio è determinato da:

$a(y-2x-3)+b(2x+3y+4)=0$

dove a,b sono parametri (non entrambi nulli, altrimenti non abbiamo una retta ma tutto il piano), cioè ad ogni coppia $(a,b) ne (0,0)$ corrisponde una retta. Ora è chiaro che se $a ne 0$ possiamo dividere per $a$ ottenendo un fascio nell'unico parametro $b/a$, ovvero

$y-2x-3+s(2x+3y+4)=0$

dove $s=b/a$. Il fatto è che questo non è più il fascio di partenza: qui abbiamo supposto $a ne 0$, quindi abbiamo perso qualcosa. Per ritrovare quello che abbiamo perso basta andare a vedere che succede quando a=0. In tal caso $b ne 0$ perché a e b non sono entrambi nulli, e quindi dividendo per b troviamo giusto la retta

$2x+3y+4=0$

Essa corrisponde, in un certo senso, al valore b/0 di s, che fa comodo pensare come infinito, per avere un'idea globale della faccenda.

Edito: se hai fatto un po' di geometria proiettiva, puoi vedere un fascio di rette nel piano come la retta proiettiva (che è provvista del punto all'infinito). Ma questo è un altro discorso...