Fascio di piani (Geometria affine)
Sia dato uno spazio affine di dimensione $3$ su $RR$. Qual è il modo più semplice per determinare l'equazione dei piani affini che contengono una certa retta $r$ assegnata?
Risposte
Come idea, direi che si può considerare un vettore $v_1$ che genera la giacitura della retta $r$ ed un punto $P in r$.
Allora il fascio dovrebbe scriversi parametricamente come $P + a v_1 + b v_2$ , con $a, b in RR$ e $v_2 in RR^3$ , con $v_2$ e $v_1$ linearmente indipendenti...
Ma come posso scrivere facilmente $v_2$?
Allora il fascio dovrebbe scriversi parametricamente come $P + a v_1 + b v_2$ , con $a, b in RR$ e $v_2 in RR^3$ , con $v_2$ e $v_1$ linearmente indipendenti...
Ma come posso scrivere facilmente $v_2$?
Siano
\[
ax+by+cz+d=0
\]
e
\[
a'x+b'y+c'z+d'=0
\]
le equazioni cartesiane della retta $r$. Allora il fascio di piani avente asse la retta $r$ ha equazione
\[
\lambda(ax+by+cz+d) + \mu(a'x+b'y+c'z+d')=0, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}
\]
Ti convince?
\[
ax+by+cz+d=0
\]
e
\[
a'x+b'y+c'z+d'=0
\]
le equazioni cartesiane della retta $r$. Allora il fascio di piani avente asse la retta $r$ ha equazione
\[
\lambda(ax+by+cz+d) + \mu(a'x+b'y+c'z+d')=0, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}
\]
Ti convince?
Sì, perfetto. Grazie. 
Prego, figurati.
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