Fascio di piani
Salve, ho dei dubbi riguardo la risoluzione di questo esercizio, dovreste controllare solo il procedimento per favore:
Considerati il fascio proprio di piani F(r) avente per asse la retta:
r: $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $
ed il piano $Pi$ avente rappresentazione cartesiana: $Pi : 3x-5y-z-3=0$
Determinare, se possibile, un piano $ omega_1 in F(r) $ tale che $ omega_1 $ risulti parallelo a $Pi$
Ecco, per risolvere ho portato la retta in forma cartesiana e scritto l'equazione del fascio F(r) che risulta essere: $ (1+2k)x-y+kz-2-5k=0 $
Poi ho applicato: $a/a_1=b/b_1=c/c_1$ ed ho quindi ricavato che $k=-1/5$
Sostituendo nel fascio e facendo i calcoli trovo che il piano è $3x-5y-3=0$ proprio come il piano di partenza
. Ma è corretto questo metodo di procedere oppure devo prendere il piano di partenza e sostituire solo il termine noto in questi casi essendo i parametri direttori uguali perchè paralleli?
Vi ringrazio tanto!
Considerati il fascio proprio di piani F(r) avente per asse la retta:
r: $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $
ed il piano $Pi$ avente rappresentazione cartesiana: $Pi : 3x-5y-z-3=0$
Determinare, se possibile, un piano $ omega_1 in F(r) $ tale che $ omega_1 $ risulti parallelo a $Pi$
Ecco, per risolvere ho portato la retta in forma cartesiana e scritto l'equazione del fascio F(r) che risulta essere: $ (1+2k)x-y+kz-2-5k=0 $
Poi ho applicato: $a/a_1=b/b_1=c/c_1$ ed ho quindi ricavato che $k=-1/5$
Sostituendo nel fascio e facendo i calcoli trovo che il piano è $3x-5y-3=0$ proprio come il piano di partenza
. Ma è corretto questo metodo di procedere oppure devo prendere il piano di partenza e sostituire solo il termine noto in questi casi essendo i parametri direttori uguali perchè paralleli? Vi ringrazio tanto!
Risposte
Chiedo scusa, avevo fatto qualche errore di calcolo... per $k=-1/5$ il piano $omega_1$ risulta essere: $ 3x-5y-z-5=0$ il quale è parallelo come si vede dai coefficienti direttori.
Un solo dubbio adesso: in un'altra domanda mi viene chiesto quale sia il luogo dei punti descritto da $ omega _1nn pi $... dovrebbe essere la retta impropria appartenente ad uno o all'altro piano giusto? E nel caso in cui fossero stati ortogonali?
Un solo dubbio adesso: in un'altra domanda mi viene chiesto quale sia il luogo dei punti descritto da $ omega _1nn pi $... dovrebbe essere la retta impropria appartenente ad uno o all'altro piano giusto? E nel caso in cui fossero stati ortogonali?
Se i due piani dati fossero ortogonali il luogo richiesto sarebbe comunque la retta intersezione
di $\omega_1$ con $\pi$. Esattamente come nel caso del parallelismo, con l'unica differenza che
nel secondo caso la soluzione del quesito è una retta propria ...
di $\omega_1$ con $\pi$. Esattamente come nel caso del parallelismo, con l'unica differenza che
nel secondo caso la soluzione del quesito è una retta propria ...
"sandroroma":
Se i due piani dati fossero ortogonali il luogo richiesto sarebbe comunque la retta intersezione
di $\omega_1$ con $\pi$. Esattamente come nel caso del parallelismo, con l'unica differenza che
nel secondo caso la soluzione del quesito è una retta propria ...
Perfetto, Grazie1000!
amedin, come ti trovi k=-1/5 ? non ho capito quell'a/a1 ecc
"Amedim":
Considerati il fascio proprio di piani F(r) avente per asse la retta:
r: $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $
ed il piano $Pi$ avente rappresentazione cartesiana: $Pi : 3x-5y-z-3=0$
Determinare, se possibile, un piano $ omega_1 in F(r) $ tale che $ omega_1 $ risulti parallelo a $Pi$
Si fa letteralmente a mente!
Per t=0 hai un punto appartenente alla retta A=(1,-1,3)
Il piano che cerchi sarà identico a $Pi$ ma traslato.
Quindi basta sostituire il punto A in $3x-5y-z=d$, ovvero d=5 e ricavi il piano cercato $3x-5y-z-5=0$
bokonon, sai perchè viene k=-1/5 nel caso di amedim ?
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