Fascio di coniche

[marixg]

ciao a tutti.
devo trovare la conica passante per $O=(0,0)$ e ivi tangente all'asse $y$, passante per $A(2,1)$ e tale che $B(-1,0)$ abbia come polare la retta $x=1$.

l'eq della tangente in $O$ è $y=x$

la retta $OA$ è $x-2y=0$



avevo pensato di costruire un fascio di coniche osculatrici ma non mi risulta corretto!
mi potreste dare una mano?

[Maci86]

Scusa, cos'è quell'equazione della tangente? Non mi sembra c'entri nulla con la tangenza con l'asse y..

[Sk_Anonymous]

L'asse $y$, polare di $O(0,0)$, e la retta $x=1$, polare di $B(-1,0)$, s'intersecano in $Y_{\infty}(0,1,0)$, punto improprio dell'asse $y$. Pertanto la retta $OB$, ovvero l'asse $x$, è la polare di $Y_{\infty}(0,1,0)$ e quindi è un diametro della conica richiesta. D'altra parte tale polare è perpendicolare alla direzione $Y_{\infty}(0,1,0)$ di cui è coniugata e dunque essa è in realtà un asse della conica. Ne segue che la suddetta conica è simmetrica rispetto all'asse $x$ e dunque passa anche per il punto $A'(2,-1)$.
A questo punto abbiamo i punti $O,A,A'$, con $O$ contato due volte, e si può scrivere l'equazione del fascio di coniche passanti per essi :
$\lambda OO\cdot A A'+\mu OA\cdot OA'=0$ ovvero :
$\lambda x(x-2)+\mu(x-2y)(x+2y)=0$
Adesso non ti resta che imporre, per esempio, che la polare di $B$ sia la retta $x-1=0$ per avere l'equazione della conica.
Dai miei calcoli risulta che deve essere $\lambda=-mu$ che porta alla parabola
$x=2y^2$
Fai tu la verifica.

[marixg]

si esatto.
ma perché queste deduzioni di simmetria non mi vengono mai:(