Fasci e prefasci

[Raphael1]

Ciao a tutti,

avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente esercizio riguardante fasci e prefasci.

Io ho $\phi:F\rightarrow G$ un morfismo di fasci di gruppi abeliani.
Definisco $H(U):=\frac{G(U)}{\phi(F(U))}$ per ogni $U\subset X$ aperto.

Vorrei dimostrare che $H$ è un prefascio, ma mi trovo nel buio più completo, potreste accompagnarmi nella risoluzione di questo esercizio?

Grazie

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Un prefascio di gruppi abeliani su $X$ non è altro che un funtore $tau_X^{op} to Ab$, dove $tau_X^{op}$ è la categoria opposta alla categoria degli aperti di $X$, mentre $Ab$ è la categoria dei gruppi abeliani. Quindi per verificare che quello da te scritto è un prefascio devi fare le seguenti cose:

- verificare che ogni aperto di $X$ venga mandato in un gruppo abeliano, ma questo è ovvio.
- verificare che un'inclusione $U supseteq V$ di aperti induce (diciamo canonicamente) un morfismo $G(U)//phi(F(U)) to G(V)//phi(F(V))$. Per questo basterà partire dal morfismo dato $G(U) to G(V)$ e agire in modo "canonico", ricordando che la $phi$ è una trasformazione naturale.

[Raphael1]

Perdonami, ma mi sfugge questa maniera "canonica". Non riesco davvero a capire come costruire questo morfismo, perchè riguardo $\phi$ so che è "compatibile" con i morfismi di restrizione (commutatività del diagramma), ma non so come costruire questo morfismo richiesto. Perdonami, è che ho seri problemi a capire pienamente questi fasci e prefasci! Grazie della risposta e della pazienza!

[Raphael1]

Ho continuato a rifletterci, in modo canonico vuol dire che dovrei trovare quel morfismo analizzando questo?

$F(U) \stackrel{\phi_{U}}{\rightarrow} G(U) \stackrel{id_{G(U)}}{\rightarrow} \frac{G(U)}{\phi(F(U))} =: H(U)$
$\downarrow res_{U,V}^F $ $\downarrow res_{U,V}^G$
$F(V) \stackrel{\phi_{V}}{\rightarrow} G(V) \stackrel{id_{G(V)}}{\rightarrow} \frac{G(V)}{\phi(F(V))} =: H(V)$

Però comunque non riesco a capire come scrivere il morfismo che mi interessa.

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Allora il fatto è questo: tu hai il morfismo $res_{U,V}^G = G(U supseteq V):\ G(U) to G(V)$, e quindi proiettando sul quoziente hai un morfismo $l_U: G(U) to G(V)//phi(F(V))$ (la composizione di $G(U) to G(V)$ con $G(V) to G(V)//phi(F(V))$). Ora per costruire un morfismo $G(U)//phi(F(U)) to G(V)//phi(F(V))$ a partire dal morfismo $l_U$ basta mostrare (proprietà universale del nucleo) che $phi(F(U))$ viene mandato a zero tramite $l_U$ (perché in tal caso $l_U$ si fattorizza: se $H le G$ è contenuto nel nucleo di $G to G_0$ allora è indotto canonicamente un morfismo $G//H to G_0$). Quindi bisogna mostrare che

$G(U supseteq V)(phi(F(U))) subseteq phi(F(V))$,

ma questo si ottiene immediatamente dalla commutazione del diagramma che hai scritto.

[Raphael1]

Grazie mille! Ora ho capito! Alla fine era solo una pura questione di algebra... e io non ci pensavo assolutamente ma pensavo solo a fasci e prefasci! Che stupido! Grazie

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Prego

Comunque più che pura questione di algebra io questi procedimenti li considero "calcoli canonici".