Famiglia di sottospazi connessi

[studentessa CdLmate]

Sia $X$ uno spazio topologico e ${A_i}_(i in I)$ una famiglia di sottospazi connessi non vuoti.

Se $AA i in I$ esiste una successione finita di indici $i_1,...,i_n in I$ tali che $ A_i $ $_k $ $nn$ $ A_i$ $_(k+1)$ $ !=O/ $ $ AA k=1,..,n-1 $
allora $S=U_(i in I){A_i}$ è connessa.

Dimostrazione:

Sia $Z={a,b}, a!=b$ uno spazio discreto e sia $f:S->Z$ una applicazione continua . Se per assudo $f$ non fosse costante allora $EE x,y in S$ con $x!=y$ tali che $f(x)=a$ e $f(y)=b$. Ma $x,y in S$ quindi $EE A_i $e $A_j$ contenenti rispettivamente $x$ e $y$.
Per hp $f$ è costante su $A_i$ che è connesso e su $A_j$ per lo stesso motivo. ora posso dire che $f(x)=f(y)$ se $A_i nn A_j!= O/$. ma con le hp che ho come posso dirlo??

[Studente Anonimo]

Ragioni sugli [tex]A_k[/tex] tra [tex]A_i[/tex] e [tex]A_j[/tex], con un argomento (per induzione se vuoi) molto semplice. Se vale [tex]c[/tex] su [tex]A_1[/tex] allora vale [tex]c[/tex] su [tex]A_2[/tex], ma allora vale [tex]c[/tex] su [tex]A_3[/tex], e così via.

Ora che ci faccio caso, non mi è chiaro come gli [tex]A_{i_k}[/tex] siano legati ad [tex]A_i[/tex].

[studentessa CdLmate]

infatti nemmeno io vedo questo legame.. non posso essere sicura che $A_i$ e $A_j$ siano connessi da una catena.

però le hp del teorema sono queste!

[Studente Anonimo]

"studentessa CdLmate":Se $AA i in I$ esiste una successione finita di indici $i_1,...,i_n in I$ tali che $ A_i $ $_k $ $nn$ $ A_i$ $_(k+1)$ $ !=O/ $ $ AA k=1,..,n-1 $

Questa ipotesi purtroppo non ha senso, dopo il quantificatore [tex]\forall i[/tex] il simbolo [tex]i[/tex] non compare più. Dove hai preso questo esercizio? Su che libro? Su che dispensa? Se l'hai preso a lezione ti consiglio di chiedere a qualche tuo collega di confermarti la consegna.

[perplesso1]

Potrebbe avere un senso se fosse $\forall i,j \in I$ esistono $i=i_1,i_2,...,i_n=j$ tali che $A_{i_k} \cap A_{i_{k+1}} \ne \emptyset$ ??

[studentessa CdLmate]

sono appunti di lezione.. comunque io la cosa l'ho immaginata così.. per ogni $A_i$ io scelga in quella famiglia di sottoinsiemi connessi esistono finiti sottoinsiemi ,sempre nella stessa famiglia,che formano con il mio $A_i$ ,inizialmente scelto, una "catenella". però certo non posso essere sicura che ogni $A_i$ sia concatenato ad una altro $A_j$ perchè nessuno mi assicura che le "catenelle" siano collegate tra loro. comunque chiederò direttamente alla prof e vi farò sapere non appena possibile
@perplesso se le hp fossero quelle allora come suggeriva Martino ragiono sugli $i_1,..i_n$ che concatenato $A_i$ e $A_j$ e avrei la tesi però non sono sicura che siano queste le hp!

[studentessa CdLmate]

le ipotesi che ho dato io non bastano..me l'ha confermato la prof. Se prendiamo come vere le hp che ha suggerito @perplesso allora possiamo arrivare alla tesi. grazie ad entrambe!!