φ-ortogonalità, forme bilineari simmetriche - parte II
Salve a tutti, mi sono ritrovato a leggere questo argomento del forum perché sto preparando l'esame di A.L. e avevo dei dubbi sui vettori isotropi e con la ricerca mi è apparsa questa.
L'ho letta tutta anche se non è stato ben affrontato nel mio corso ma volevo chiedervi due cose riguardo alle conclusioni.
Non mi è chiarissimo se:
1\ $((W)^⊥)^⊥=W$ PUO' verificarsi quando la forma bilineare φ è degenere oppure se mai si verifichi =.
Vi spiego il dubbio: come dicevate nel corso della discussione noi sappiamo solo che se la forma è non degenere => sicuramente è valido =. Se non è degenere a priori non sappiamo se sia valida o meno l'uguaglianza.
Tuttavia da questo discorso
Mi sembra di no però, perché leggendo questo:
E' un caso degenere eppure vale l'"=", non devo quindi aver capito qualcosa della prima citazione, oppure questo esempio è sbagliato (ma onestamente mi sembra giusto).
Purtroppo i duali non li ho ancora trattati quindi ho letto per conto mio per capire il discorso, potrei quindi aver preso un granchio.
Per il secondo dubbio:
2\ $W⊕W^⊥=W$ vale se la forma non è degenere e non ha isotropi in generale.
Però anche qui non ho capito se ho isotropi non vale mai l'uguaglianza o possono esserci casi in cui vale pur avendo isotropi?
Ad esempio qui mi sembra di capire (secondo esempio quote) che possa esserci un caso in cui c'è un isotropo j però $W⊕W^⊥=W$.
grazie.
L'ho letta tutta anche se non è stato ben affrontato nel mio corso ma volevo chiedervi due cose riguardo alle conclusioni.
Non mi è chiarissimo se:
1\ $((W)^⊥)^⊥=W$ PUO' verificarsi quando la forma bilineare φ è degenere oppure se mai si verifichi =.
Vi spiego il dubbio: come dicevate nel corso della discussione noi sappiamo solo che se la forma è non degenere => sicuramente è valido =. Se non è degenere a priori non sappiamo se sia valida o meno l'uguaglianza.
Tuttavia da questo discorso
"megas_archon":mi pare di dedurre che se è degenere non vale mai il simbolo "=", ma solo una inclusione? E' così?
Degenere, in termini della rappresentazione di una applicazione bilineare \(\varphi\) come una applicazione lineare \(V\to V^\lor\), quando su $V$ scegli una base e sul duale \(V^\lor\) la base duale, significa che \(\det\varphi = 0\), il che è equivalente a \(\ker\varphi \ne (0)\). Ora, siccome \(W^{\perp\perp,\varphi} = \{v\in V\mid \forall u\in W^\perp.\varphi(v,u)=0\}\), hai che \(W\subseteq W^{\perp\perp,\varphi}\); l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
Mi sembra di no però, perché leggendo questo:
assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
E' un caso degenere eppure vale l'"=", non devo quindi aver capito qualcosa della prima citazione, oppure questo esempio è sbagliato (ma onestamente mi sembra giusto).
Purtroppo i duali non li ho ancora trattati quindi ho letto per conto mio per capire il discorso, potrei quindi aver preso un granchio.
Per il secondo dubbio:
2\ $W⊕W^⊥=W$ vale se la forma non è degenere e non ha isotropi in generale.
Però anche qui non ho capito se ho isotropi non vale mai l'uguaglianza o possono esserci casi in cui vale pur avendo isotropi?
Ad esempio qui mi sembra di capire (secondo esempio quote) che possa esserci un caso in cui c'è un isotropo j però $W⊕W^⊥=W$.
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
grazie.
Risposte
- none -
Ma farsi degli esempi è davvero così haram per voi? Restringiti a un sottospazio dove l'applicazione è non degenere, lì l'ortogonale è un'involuzione. Quindi, a entrambe le domande, la risposta è: "ovviamente no".
Diciamo che non ho capito perché gli esempi nei miei quote non siano validi. Di fatto sono esempi e non riesco a debuggare dove risieda l'errore.
La mia principale curiosità era quella.
Per il resto provo a ragionare sul tuo consiglio. Anche perché se mi restringo a un sottospazio dove non è degenere e NON degenere. Quindi non capisco come risponda al mio quesito sul "degenere"
.
La mia principale curiosità era quella.
Per il resto provo a ragionare sul tuo consiglio. Anche perché se mi restringo a un sottospazio dove non è degenere e NON degenere. Quindi non capisco come risponda al mio quesito sul "degenere"
.
[xdom="j18eos"]@catastrofico Per la prossima volta, per porre nuove domande, apri un nuovo thread!
Grazie
Per la moderazione, Armando[/xdom]
P.S.: ma un esempio di forma bilineare degenere su \(\mathbb{R}^2\) non la sai proporre?
Grazie
Per la moderazione, Armando[/xdom]
P.S.: ma un esempio di forma bilineare degenere su \(\mathbb{R}^2\) non la sai proporre?
Vedo molti problemi coi quantificatori.
Per quanto riguarda il punto 1, tu hai che vale
(*) $W^(bot bot) = W$
per ogni sottospazio $W$ se la forma è non degenere. Se la forma è degenere, allora non è più vero che (*) vale per ogni $W$, nello specifico se prendi $W={0}$ allora $W^(bot bot)$ è uguale al radicale della forma (il nucleo) e quindi è diverso da $W$. Cioè se la forma è degenere esiste almeno un $W$ che non è uguale a $W^(bot bot)$, tuttavia esistono anche dei $W$ per i quali (*) vale, come per esempio il nucleo (come hai osservato).
Il punto 2 è del tutto analogo, non ti sto a rifare tutto il discorso.
Se ti si dice che una certa cosa vale per ogni $W$ nel caso non degenere, questo non significa che nel caso degenere non valga mai. Esisteranno dei $W$ per cui vale e dei $W$ per cui non vale.
Le cose matematiche che hai detto (a parte il linguaggio un po' improprio) sono corrette.
Per quanto riguarda il punto 1, tu hai che vale
(*) $W^(bot bot) = W$
per ogni sottospazio $W$ se la forma è non degenere. Se la forma è degenere, allora non è più vero che (*) vale per ogni $W$, nello specifico se prendi $W={0}$ allora $W^(bot bot)$ è uguale al radicale della forma (il nucleo) e quindi è diverso da $W$. Cioè se la forma è degenere esiste almeno un $W$ che non è uguale a $W^(bot bot)$, tuttavia esistono anche dei $W$ per i quali (*) vale, come per esempio il nucleo (come hai osservato).
Il punto 2 è del tutto analogo, non ti sto a rifare tutto il discorso.
Se ti si dice che una certa cosa vale per ogni $W$ nel caso non degenere, questo non significa che nel caso degenere non valga mai. Esisteranno dei $W$ per cui vale e dei $W$ per cui non vale.
Le cose matematiche che hai detto (a parte il linguaggio un po' improprio) sono corrette.
@moderazione: mi scuso con la moderazione perché avevo visto il discorso e mi aveva appassionato e l'ho seguito nel flusso. Prossimamente non lo rifarò, scusatemi tanto.
@martino: ok quindi gli esempi quotati sono corretti, mi interessava solo capire quello in realtà, perché poi nelle varie pagine non avevo poi capito se lo fossero o meno e cercavo di debuggarli pensando fossero errati.
[EDITING]: mi accorgo che in realtà il quote 2 non esiste perché come diceva martino "non esiste, perché se i è isotropo e ortogonale a j,k allora è ortogonale a tutti i vettori, cioè sta nel nucleo e la forma è degenere."
Forse è giusto solo il primoo dei due. Non so purtroppo vi ho portato fuori strada con la domanda o non sono stato chiaro, io volevo solo capire la veridicità dei due esempietti che mi sono letto e mi parevano ok. Ma su cui nutro dubbi.
C'è poi un ultimo punto che mi lascia dubbioso, l'utente megas_archeon scriveva:
Il che sembrava dire che appunto l'esempio 1 non potesse sussistere, non ho capito moltissimo il suo discorso però mi pareva proprio dimostrare quel fatto sull'uguaglianza. Forse ho solo capito male, e quindi non ho ben capito cosa stesse dicendo.
PS.
Lascio link a vecchia discussione scorporata, si sa mai che a qualcuno interessi tutto il filo logico: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=231315
@martino: ok quindi gli esempi quotati sono corretti, mi interessava solo capire quello in realtà, perché poi nelle varie pagine non avevo poi capito se lo fossero o meno e cercavo di debuggarli pensando fossero errati.
sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
1) assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
Stessa cosa prendendo il vettore $veci+vecj$ (ed esempio, così da non prendere proprio il degenere come prima) phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio e sia phi in modo che i,j, k siano ortogonali; se scegliessi $W={j}$, allora $(W)^⊥$ non sarebbe altro che ${i+j}$ unito al piano formato dalla combinazione lineare di $i$ e $k$ e di nuovo se faccio $((W)^⊥)^⊥=W$
perché questi due esempietti semplici non tornano? Non capisco se sia perché un phi come da me indicato non esista oppure un phi del genere esiste ma semplicemente anche se degenere può funzionare la formuletta dell'ortogonale dell'ortogonale? Non capisco
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
[EDITING]: mi accorgo che in realtà il quote 2 non esiste perché come diceva martino "non esiste, perché se i è isotropo e ortogonale a j,k allora è ortogonale a tutti i vettori, cioè sta nel nucleo e la forma è degenere."
Forse è giusto solo il primoo dei due. Non so purtroppo vi ho portato fuori strada con la domanda o non sono stato chiaro, io volevo solo capire la veridicità dei due esempietti che mi sono letto e mi parevano ok. Ma su cui nutro dubbi.
C'è poi un ultimo punto che mi lascia dubbioso, l'utente megas_archeon scriveva:
"megas_archon":mi pare di dedurre che se è degenere non vale mai il simbolo "=", ma solo una inclusione? E' così?
Degenere, in termini della rappresentazione di una applicazione bilineare \(\varphi\) come una applicazione lineare \(V\to V^\lor\), quando su $V$ scegli una base e sul duale \(V^\lor\) la base duale, significa che \(\det\varphi = 0\), il che è equivalente a \(\ker\varphi \ne (0)\). Ora, siccome \(W^{\perp\perp,\varphi} = \{v\in V\mid \forall u\in W^\perp.\varphi(v,u)=0\}\), hai che \(W\subseteq W^{\perp\perp,\varphi}\); l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
Il che sembrava dire che appunto l'esempio 1 non potesse sussistere, non ho capito moltissimo il suo discorso però mi pareva proprio dimostrare quel fatto sull'uguaglianza. Forse ho solo capito male, e quindi non ho ben capito cosa stesse dicendo.
PS.
Lascio link a vecchia discussione scorporata, si sa mai che a qualcuno interessi tutto il filo logico: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=231315
mi pare di dedurre che se è degenere non vale mai il simbolo "=", ma solo una inclusione? E' così?No, non è così, non hai capito molto di quel che ti è stato detto (e ridetto, e ridetto...).
Il tuo problema ha ben poco a che vedere con l'algebra lineare, e molto più con la comprensione del testo (per esempio, ti è -probabilmente chiara in principio, ma in pratica- oscura la differenza tra necessario, sufficiente, e necessario-e-sufficiente).
File under i mali della logica classica: la gente si convince che "\(\lnot P\)" significhi "non è mai vero che $P$", e ho difficoltà a capire come mai pensiate in questo modo perverso.
[ot]PS: https://en.wikipedia.org/wiki/Megas_archon[/ot]
No, ma il sottodiscorso logico a me pare proprio di averlo capito come ho detto in apertura:
Quello che non ho capito del quote sulla tua parte è che a me pareva dimostrassi:
forma degenere => non vale l'uguale.
Però ripeto io ho solo leggiucchiato autonomamente i duali per ora, quindi potrei non aver capito il tuo discorso appieno.
Era semplicemente quello che dicevo.
Poi chiedevo (domanda a parte) se gli esempi proposti nel flusso della discussione che ho qui quotato fossero validi.
Vi spiego il dubbio: come dicevate nel corso della discussione noi sappiamo solo che se la forma è non degenere => sicuramente è valido =. Se non è degenere a priori non sappiamo se sia valida o meno l'uguaglianza.
Quello che non ho capito del quote sulla tua parte è che a me pareva dimostrassi:
forma degenere => non vale l'uguale.
Però ripeto io ho solo leggiucchiato autonomamente i duali per ora, quindi potrei non aver capito il tuo discorso appieno.
Era semplicemente quello che dicevo.
Poi chiedevo (domanda a parte) se gli esempi proposti nel flusso della discussione che ho qui quotato fossero validi.
Sarò de coccio ma io ribadisco l'invito a scriverti una forma bilineare degenere su \(\mathbb{R}^2\) e vedere che succede...
Mi sembra di capire che ti confonda la seguente frase di megas_archon.
Se io dico "uso l'ombrello quando piove" tu non puoi dedurre che quando non piove non uso l'ombrello.
"megas_archon":Questa frase significa che SE la forma è non degenere allora vale l'uguaglianza. Come hai fatto da questo a dedurre che se la forma è degenere allora l'uguaglianza non vale?
l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
Se io dico "uso l'ombrello quando piove" tu non puoi dedurre che quando non piove non uso l'ombrello.
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