φ-ortogonalità, forme bilineari simmetriche
Volevo chiedere un chiarimento su due punti teorici però mostrati dal mio professore solo con due esercizi e vorrei generalizzarli.
Il fatto è il seguente:
- se $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ normalmente, però se φ ha nucleo => è degenere e non è più vero che $((W)^⊥)^⊥=W$. Ma perché dipenda dall'essere degenere (questo non funzioanre più della formula detta) non ho capito.
- $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$), e anche qui non è vero per le forme φ con vettori isotropi. Cioè se ho isotropi: $W⊕W^⊥!=W$, ma perché dipende proprio dall'avere isotropi?
Oltre a generalizzare questo (cioè capire non valgono le due prorpietà proprio per via dell'essere degenere e avere isotropo?) ho un ulteriore dubbio, sul primo dei due, dato che essere degenere => avere un isotropo, quando si verifica il primo caso automaticamente non vale nemmeno il secondo cioè: $W⊕W^⊥=W$ non vale anche lui?
Non riesco a collegare questi fatti molto bene. E cerco un chiarimento per capire più approfonditamente.
Il fatto è il seguente:
- se $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ normalmente, però se φ ha nucleo => è degenere e non è più vero che $((W)^⊥)^⊥=W$. Ma perché dipenda dall'essere degenere (questo non funzioanre più della formula detta) non ho capito.
- $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$), e anche qui non è vero per le forme φ con vettori isotropi. Cioè se ho isotropi: $W⊕W^⊥!=W$, ma perché dipende proprio dall'avere isotropi?
Oltre a generalizzare questo (cioè capire non valgono le due prorpietà proprio per via dell'essere degenere e avere isotropo?) ho un ulteriore dubbio, sul primo dei due, dato che essere degenere => avere un isotropo, quando si verifica il primo caso automaticamente non vale nemmeno il secondo cioè: $W⊕W^⊥=W$ non vale anche lui?
Non riesco a collegare questi fatti molto bene. E cerco un chiarimento per capire più approfonditamente.
Risposte
Per esempio se vuoi $i$ ortogonale a tutti i vettori scrivi $Ai=0$ e trovi delle relazioni sui coefficienti di $A$. Poi basta che scegli i coefficienti come ti pare ma in modo che soddisfino tali relazioni.
Ok i parametri liberi li scelgo a caso in sostanza.
Grazie mille
, ho capito.
Mentre sull'isotropo mi par di capire che sia piu complesso.
Grazie mille
, ho capito.Mentre sull'isotropo mi par di capire che sia piu complesso.
Non per fare il guastafeste però mi pare che queste generiche non siano risolte...
Anche perché come dicevo:
Però, scusate, con questo non mostro solo che $(V^(⊥_φ))^(⊥_φ)=kerφ^*$ non è per forza tutto V, ma non mostra che se $kerφ^*!={0}$ allora non si ha che $(W^(⊥_φ))^(⊥_φ)=W$.
W è per ipotesi sottospazio di V, non tutto V.[/quote]
Qualcuno saprebbe chiarirle? Perché interessano molto anche a me ora che le ho lette, ma non sono riuscito a risolver(me)le nel pomeriggio.
"lacanzione":
Il fatto è il seguente:
A) se $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ normalmente, però se φ ha nucleo => è degenere e non è più vero che $((W)^⊥)^⊥=W$. Ma perché dipenda dall'essere degenere (questo non funzioanre più della formula detta) non ho capito.
B) $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$), e anche qui non è vero per le forme φ con vettori isotropi. Cioè se ho isotropi: $W⊕W^⊥!=W$, ma perché dipende proprio dall'avere isotropi?
Oltre a generalizzare questo (cioè capire non valgono le due prorpietà proprio per via dell'essere degenere e avere isotropo?) ho un ulteriore dubbio, sul primo dei due, dato che essere degenere => avere un isotropo, quando si verifica il primo caso automaticamente non vale nemmeno il secondo cioè: $W⊕W^⊥=W$ non vale anche lui?
Anche perché come dicevo:
"matos":
[quote="megas_archon"]Questo è sufficiente a concludere, perché \((V^{\perp,\varphi})^{\perp,\varphi} = (\ker\varphi^*)^{\perp,\varphi}\) che certamente non è sempre tutto $V$.
Però, scusate, con questo non mostro solo che $(V^(⊥_φ))^(⊥_φ)=kerφ^*$ non è per forza tutto V, ma non mostra che se $kerφ^*!={0}$ allora non si ha che $(W^(⊥_φ))^(⊥_φ)=W$.
W è per ipotesi sottospazio di V, non tutto V.[/quote]
Qualcuno saprebbe chiarirle? Perché interessano molto anche a me ora che le ho lette, ma non sono riuscito a risolver(me)le nel pomeriggio.
Anche tu stai facendo confusione con i quantificatori: l'enunciato è della forma \(P \Rightarrow \forall W.Q(W)\), e quindi la sua negazione (classica) è \(\lnot P \Rightarrow \lnot\forall W.Q(W)\), che è come dire \(\lnot P \Rightarrow \exists W .\lnot Q(W)\). Ed esiste, è proprio $W=V$.
Ora, se la tua domanda è: quando \(\varphi\) è degenere per caso è vero che per nessun $W$ l'ortogonale è involutivo? La risposta è chiaramente no: dipende dalla relazione reciproca tra \(W\) e \(\ker\varphi\).
Il problema di fondo, come ha detto anche Martino, è che non mi sembra vi sia chiara la differenza tra "essere degenere" e "avere vettori isotropi": la forma di Minkowski è non degenere (ha determinante -1) ma è piena di vettori isotropi, quelli di tipo luce.
Ora, se la tua domanda è: quando \(\varphi\) è degenere per caso è vero che per nessun $W$ l'ortogonale è involutivo? La risposta è chiaramente no: dipende dalla relazione reciproca tra \(W\) e \(\ker\varphi\).
Il problema di fondo, come ha detto anche Martino, è che non mi sembra vi sia chiara la differenza tra "essere degenere" e "avere vettori isotropi": la forma di Minkowski è non degenere (ha determinante -1) ma è piena di vettori isotropi, quelli di tipo luce.
"megas_archon":
e quindi la sua negazione (classica) è \(\lnot P \Rightarrow \lnot\forall W.Q(W)\)
Questa non l'ho capita.
Se la forma è degenere, non per ogni \(W\le V\) si ha che \(W^{\perp\perp}=W\). Quindi ne esiste uno tale che \(\lnot(W^{\perp\perp}=W)\). E infatti ne esiste uno: tutto lo spazio.
Ok a parole mi sembra di aver capito ma quello che volevo dire è che non dovrebbe essere:
P e ¬∀W.Q(W) o se preferisci P e ∃W.¬Q(W)? Non mi era chiaro "=>".
P e ¬∀W.Q(W) o se preferisci P e ∃W.¬Q(W)? Non mi era chiaro "=>".
No, l'implicazione e la congiunzione sono cose diverse.
Ok sono stupido ma non così tanto, aspetta 
, cerco di precisare la domanda:
Mi sembrava tu stessi dicendo ho $P⇒∀W.Q(W)$, nego $¬(P⇒∀W.Q(W))$
E io chiedo:
e non capisco quell'implica. Io avrei messo la congiunzione: non ho capito come la ottieni
, cerco di precisare la domanda:"megas_archon":
Anche tu stai facendo confusione con i quantificatori: l'enunciato è della forma \(P \Rightarrow \forall W.Q(W)\), e quindi la sua negazione (classica) è \(\lnot P \Rightarrow \lnot\forall W.Q(W)\), che è come dire \(\lnot P \Rightarrow \exists W .\lnot Q(W)\). Ed esiste, è proprio $W=V$.
Mi sembrava tu stessi dicendo ho $P⇒∀W.Q(W)$, nego $¬(P⇒∀W.Q(W))$
E io chiedo:
non dovrebbe essere:
P e ¬∀W.Q(W) o se preferisci P e ∃W.¬Q(W)? Mentre tu hai scritto: ¬P⇒¬∀W.Q(W)
e non capisco quell'implica. Io avrei messo la congiunzione: non ho capito come la ottieni
La congiunzione e l'implicazione hanno regole di introduzione e di eliminazione diverse; non stai dando un witness del fatto che sono vere entrambe $P$ e $R$ (come faresti se fosse \(P\land R\) da dover dimostrare). Stai, invece, asserendo che una condizione necessaria affinché \(W^{\perp\perp, \varphi}=W\) è che \(\varphi\) sia non degenere, cioè che se $P$ allora $R$; nella fattispecie, \(R=\forall W.(W^{\perp\perp,\varphi}=W)\).
Siccome però non ho la minima intenzione di inquinare yet another discussione di algebra lineare con queste venialità logiche da prima elementare, veniamo all'algebra lineare vera e propria.
Degenere, in termini della rappresentazione di una applicazione bilineare \(\varphi\) come una applicazione lineare \(V\to V^\lor\), quando su $V$ scegli una base e sul duale \(V^\lor\) la base duale, significa che \(\det\varphi = 0\), il che è equivalente a \(\ker\varphi \ne (0)\). Ora, siccome \(W^{\perp\perp,\varphi} = \{v\in V\mid \forall u\in W^\perp.\varphi(v,u)=0\}\), hai che \(W\subseteq W^{\perp\perp,\varphi}\); l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
Altrimenti, puoi stimare la discrepanza tra \(W^{\perp\perp}\) e \(W\) (ovvero, tramite le opportune identificazioni, la dimensione del quoziente \(W^{\perp\perp}/W\)) in termini del nucleo di \(\varphi\), usando un po' di intelletto e la formula delle dimensioni.
Siccome però non ho la minima intenzione di inquinare yet another discussione di algebra lineare con queste venialità logiche da prima elementare, veniamo all'algebra lineare vera e propria.
Degenere, in termini della rappresentazione di una applicazione bilineare \(\varphi\) come una applicazione lineare \(V\to V^\lor\), quando su $V$ scegli una base e sul duale \(V^\lor\) la base duale, significa che \(\det\varphi = 0\), il che è equivalente a \(\ker\varphi \ne (0)\). Ora, siccome \(W^{\perp\perp,\varphi} = \{v\in V\mid \forall u\in W^\perp.\varphi(v,u)=0\}\), hai che \(W\subseteq W^{\perp\perp,\varphi}\); l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
Altrimenti, puoi stimare la discrepanza tra \(W^{\perp\perp}\) e \(W\) (ovvero, tramite le opportune identificazioni, la dimensione del quoziente \(W^{\perp\perp}/W\)) in termini del nucleo di \(\varphi\), usando un po' di intelletto e la formula delle dimensioni.
Ok ho afferrato
Comunque io ho capito il discorso che fai, il mio dubbio era solo sulla negazione ¬(P⇒∀W.Q(W)) che non capisco come venga questa: ¬P⇒∃W.¬Q(W), mi sembrava semplicemente che la formula fosse per questi casi
P e ∃W.¬Q(W). Mi sto incartando sulla negazione, non sul concetto di implica.
Detto ciò il resto del discorso è molto chiaro e ho capito l'errore che inizalmente facevo.
La mia domanda era, dopo aver raddrizzato il discorso iniziale che avevo capito male, come hai ben supposto la seguente.
A) mostriamo che $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ vale se è non degenere (come da te mostrato). Dimostrato quello, però se φ ha nucleo => è degenere NON E' DETTO che $((W)^⊥)^⊥=W$ valga. Basta torvare un controesempio (e ne ho visto uno, quindi ok)
B) sempre giocando con le dimensioni credo si possa mostrare che $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$) vale se non ho isotropi (quindi in particolare è anche non degenere), dimostrato questo anche qui PUO' non essere vero per le forme φ con vettori isotropi (io ho mostrato valere sempre per i non isotropi infatti). Trovo un controesempio per cui quella formula non vale per il caso con gli isotropi.
Fine. Direi che adesso è giusto.
Comunque io ho capito il discorso che fai, il mio dubbio era solo sulla negazione ¬(P⇒∀W.Q(W)) che non capisco come venga questa: ¬P⇒∃W.¬Q(W), mi sembrava semplicemente che la formula fosse per questi casi
P e ∃W.¬Q(W). Mi sto incartando sulla negazione, non sul concetto di implica.
Detto ciò il resto del discorso è molto chiaro e ho capito l'errore che inizalmente facevo.
La mia domanda era, dopo aver raddrizzato il discorso iniziale che avevo capito male, come hai ben supposto la seguente.
A) mostriamo che $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ vale se è non degenere (come da te mostrato). Dimostrato quello, però se φ ha nucleo => è degenere NON E' DETTO che $((W)^⊥)^⊥=W$ valga. Basta torvare un controesempio (e ne ho visto uno, quindi ok)
B) sempre giocando con le dimensioni credo si possa mostrare che $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$) vale se non ho isotropi (quindi in particolare è anche non degenere), dimostrato questo anche qui PUO' non essere vero per le forme φ con vettori isotropi (io ho mostrato valere sempre per i non isotropi infatti). Trovo un controesempio per cui quella formula non vale per il caso con gli isotropi.
Fine.
Direi che adesso è giusto.
Rimane per me un po' misterioso il discorso sul quoziente di W ortogonale dell'ortogonale, non ho capito come ottenerlo in realtà. Non avrei la più pallida idea di come farlo.
In che senso? Nella stessa maniera in cui ottieni ogni altro quoziente, cioè come conucleo dell'inclusione \(W\hookrightarrow W^{\perp\perp}\).
Ho l'impressione che tu stia imparando l'algebra lineare "alla ingegnera"...
Ho l'impressione che tu stia imparando l'algebra lineare "alla ingegnera"...
Eh purtroppo sì, ci hai visto giusto data la tu aesperienza, nel senso che da quanto so i quozienti si fanno in algebra, corso che noi manco abbiamo. Me lo ero studiato autonomamente ma credevo c'entrasse con le classi di equivalenza, non ho ben capito il legame con l'inclusione.
In realtà ho anche preso il testo che viene usato in a.l. qui a padova (o meglio quello che usa il coinquilino che fa matematica) ma non ho trovato qualcosa del genere.
Per questo non ho bene idea di come si ottenga il quoz. come "conucleo dell'inclusione W↪W⊥⊥".
Posso chiederti dove posso approfondire questa cosa in testi di A.L.? Mi interessa, voglio capirne di più ma non ho idea dove leggere. Ovviamente non chiedo di spiegarmelo tu qui, ma desidero capire.
In realtà ho anche preso il testo che viene usato in a.l. qui a padova (o meglio quello che usa il coinquilino che fa matematica) ma non ho trovato qualcosa del genere.
Per questo non ho bene idea di come si ottenga il quoz. come "conucleo dell'inclusione W↪W⊥⊥".
Posso chiederti dove posso approfondire questa cosa in testi di A.L.? Mi interessa, voglio capirne di più ma non ho idea dove leggere. Ovviamente non chiedo di spiegarmelo tu qui, ma desidero capire.
Questo è l'unico testo dove studiare algebra lineare come un adulto: https://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf
In particolare tu vuoi leggere la sezione "4. Dualità" che inizia a pagina 79 (del testo) o 83 (del pdf).
In particolare tu vuoi leggere la sezione "4. Dualità" che inizia a pagina 79 (del testo) o 83 (del pdf).
Grazie per il riferimento, mi ci metto subito.
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