φ-ortogonalità, forme bilineari simmetriche
Volevo chiedere un chiarimento su due punti teorici però mostrati dal mio professore solo con due esercizi e vorrei generalizzarli.
Il fatto è il seguente:
- se $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ normalmente, però se φ ha nucleo => è degenere e non è più vero che $((W)^⊥)^⊥=W$. Ma perché dipenda dall'essere degenere (questo non funzioanre più della formula detta) non ho capito.
- $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$), e anche qui non è vero per le forme φ con vettori isotropi. Cioè se ho isotropi: $W⊕W^⊥!=W$, ma perché dipende proprio dall'avere isotropi?
Oltre a generalizzare questo (cioè capire non valgono le due prorpietà proprio per via dell'essere degenere e avere isotropo?) ho un ulteriore dubbio, sul primo dei due, dato che essere degenere => avere un isotropo, quando si verifica il primo caso automaticamente non vale nemmeno il secondo cioè: $W⊕W^⊥=W$ non vale anche lui?
Non riesco a collegare questi fatti molto bene. E cerco un chiarimento per capire più approfonditamente.
Il fatto è il seguente:
- se $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ normalmente, però se φ ha nucleo => è degenere e non è più vero che $((W)^⊥)^⊥=W$. Ma perché dipenda dall'essere degenere (questo non funzioanre più della formula detta) non ho capito.
- $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$), e anche qui non è vero per le forme φ con vettori isotropi. Cioè se ho isotropi: $W⊕W^⊥!=W$, ma perché dipende proprio dall'avere isotropi?
Oltre a generalizzare questo (cioè capire non valgono le due prorpietà proprio per via dell'essere degenere e avere isotropo?) ho un ulteriore dubbio, sul primo dei due, dato che essere degenere => avere un isotropo, quando si verifica il primo caso automaticamente non vale nemmeno il secondo cioè: $W⊕W^⊥=W$ non vale anche lui?
Non riesco a collegare questi fatti molto bene. E cerco un chiarimento per capire più approfonditamente.
Risposte
Tra l'altro vorrei portare 2x2 esempi semplici che non mi sembrano tornare granché con i fatti di cui sopra:
1) assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
Stessa cosa prendendo il vettore $veci+vecj$ (ed esempio, così da non prendere proprio il degenere come prima) phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio e sia phi in modo che i,j, k siano ortogonali; se scegliessi $W={j}$, allora $(W)^⊥$ non sarebbe altro che ${i+j}$ unito al piano formato dalla combinazione lineare di $i$ e $k$ e di nuovo se faccio $((W)^⊥)^⊥=W$
perché questi due esempietti semplici non tornano? Non capisco se sia perché un phi come da me indicato non esista oppure un phi del genere esiste ma semplicemente anche se degenere può funzionare la formuletta dell'ortogonale dell'ortogonale? Non capisco
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
Spero in qualche aiuto su queste cose perché ci sto davvero impazzendo sopra e non trovo riferimenti da nessuna parte
.
1) assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
Stessa cosa prendendo il vettore $veci+vecj$ (ed esempio, così da non prendere proprio il degenere come prima) phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio e sia phi in modo che i,j, k siano ortogonali; se scegliessi $W={j}$, allora $(W)^⊥$ non sarebbe altro che ${i+j}$ unito al piano formato dalla combinazione lineare di $i$ e $k$ e di nuovo se faccio $((W)^⊥)^⊥=W$
perché questi due esempietti semplici non tornano? Non capisco se sia perché un phi come da me indicato non esista oppure un phi del genere esiste ma semplicemente anche se degenere può funzionare la formuletta dell'ortogonale dell'ortogonale? Non capisco
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
Spero in qualche aiuto su queste cose perché ci sto davvero impazzendo sopra e non trovo riferimenti da nessuna parte
.
se $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ normalmente,questo è un fatto generale, sì;
però se φ ha nucleo => è degenerequi è all'improvviso apparsa \(\varphi\): chi è \(\varphi\)?
e non è più vero che $((W)^⊥)^⊥$qui manca un pezzo: non è più vero che $((W)^⊥)^⊥$... cosa?
Solitamente si consiglia di rileggere il testo prima di consegnarlo, proprio per evitare queste perdite di tempo
Perdonami, hai ragione, ero talmente immerso nella teoria di questa cosa che per me phi era "ovviamente" una forma bilineare, siamo nelle forme bilineari (simmetriche) in sostanza.
Correggo...
esatto, e se è degenere non vale più, perché?
Chiedo davvero scusa
e ti ringrazio per il rimprovero.
Correggo...
questo è un fatto generale, sì;
esatto, e se è degenere non vale più, perché?
Chiedo davvero scusa
e ti ringrazio per il rimprovero.
Intanto bisogna dare le definizioni complete (perché se non precisi rispetto a quale nozione di ortogonale uno pensa che sia rispetto alla dualità canonica, ma così non era): allora, se \(\varphi : V\times V\to k\) è bilineare (e simmetrica, altrimenti dovrai parlare di ortogonale destro e sinistro), e \(W\le V\),
\[W^{\perp,\varphi}:= \{v\in V\mid \forall w\in W,\varphi(v,w) = 0\}\] e dalla definizione segue che \(V^{\perp,\varphi} =\ker\varphi^*\) dove \(\varphi : V\to V^*\) è la curryficata di \(\varphi\). Questo è sufficiente a concludere, perché \((V^{\perp,\varphi})^{\perp,\varphi} = (\ker\varphi^*)^{\perp,\varphi}\) che certamente non è sempre tutto $V$.
\[W^{\perp,\varphi}:= \{v\in V\mid \forall w\in W,\varphi(v,w) = 0\}\] e dalla definizione segue che \(V^{\perp,\varphi} =\ker\varphi^*\) dove \(\varphi : V\to V^*\) è la curryficata di \(\varphi\). Questo è sufficiente a concludere, perché \((V^{\perp,\varphi})^{\perp,\varphi} = (\ker\varphi^*)^{\perp,\varphi}\) che certamente non è sempre tutto $V$.
Grazie!
In effetti sarebbe tutto V se il kernel fosse banale, mentre quando non ho kernel banale (ossia è degenere) non vale, come volevamo.
Ma invece cosa potresti/potreste dirmi riguaro il secondo punto?
Inoltre non capisco a 'sto punto perché i 4 esempi proposti nel mio secondo messaggio non funzionino, a me sembrano ragionevolmente corretti, ma già i primi due avendo kernel non banale non dovrebbero funzionare stando al lato teorico... eppure... Dove sta l'inghippo?
Mi piacerebbe molto capire anche le altre cose
che certamente non è sempre tutto V.
In effetti sarebbe tutto V se il kernel fosse banale, mentre quando non ho kernel banale (ossia è degenere) non vale, come volevamo.
Ma invece cosa potresti/potreste dirmi riguaro il secondo punto?
Inoltre non capisco a 'sto punto perché i 4 esempi proposti nel mio secondo messaggio non funzionino, a me sembrano ragionevolmente corretti, ma già i primi due avendo kernel non banale non dovrebbero funzionare stando al lato teorico... eppure... Dove sta l'inghippo?
Mi piacerebbe molto capire anche le altre cose
Il saggio proverà a scrivere le definizioni delle \(\varphi\) nei vari casi.
"megas_archon":
Il saggio proverà a scrivere le definizioni delle \(\varphi\) nei vari casi.
Ma il non saggio (aka stolto) non sa farlo nei vari esempi
. Ci ho provato in effetti a sforzarmi a pensare come potesse essere (per quello chiedevo se esistesse) ma non ho idea di come andare a definire tali phi, per quello avevo ipotizzato non esistessero.Non ho mai fatto un esercizio del genere e non ho davvero idea dove mettere le mani, ti prego di aiutarmi a uscire da questa terribile incapacità
. Voglio onestamente capire!
I vettori isotropi non stanno necessariamente nel kernel. Rileggi le definizioni.
"megas_archon":
Questo è sufficiente a concludere, perché \((V^{\perp,\varphi})^{\perp,\varphi} = (\ker\varphi^*)^{\perp,\varphi}\) che certamente non è sempre tutto $V$.
Però, scusate, con questo non mostro solo che $(V^(⊥_φ))^(⊥_φ)=kerφ^*$ non è per forza tutto V, ma non mostra che se $kerφ^*!={0}$ allora non si ha che $(W^(⊥_φ))^(⊥_φ)=W$.
W è per ipotesi sottospazio di V, non tutto V.
"Martino":
I vettori isotropi non stanno necessariamente nel kernel. Rileggi le definizioni.
Certo che no, ma non ho capito dove ho affermato questo. Non ho ben capito a quale punto stai rispondendo, ti chiedo scusa
Sta solo dicendo che se ci sono vettori isotropi allora l'uguaglianza (*) \( W \oplus W^{\perp} = V \) non vale per ogni sottospazio $W$. Varrà per alcuni $W$ ma non per tutti. Per esempio se $W$ è generato da un isotropo allora (*) non vale, come hai osservato. Ma esisteranno $W$ per cui (*) vale (per esempio se il nucleo è banale allora (*) vale per $W=V$, banalmente).
Ah ok ora mi è più chiaro il punto, ma quindi:
Questo esempio è giusto? Ero in dubbio (e forse avevo spiegato male questo) perché il professore aveva scritto su un esercizio che in generale nelle forme bilineari simmetriche generiche (quindi non definite positive come il prodotto scalare) $W⊕W^⊥!=W$, mentre a me in questo controesempio non è che risultasse diverso, proprio non aveva senso perché non era nemmeno una somma diretta.
Quindi almeno questo esempio che mi ero fatto è giusto? però non mi convicne una cosa, quella forma bilineare per come l'ho definita esiste? Perché megas_archeon mi pareva intendere di no.
Detto ciò sempre rimanendo sugli esercizietti che mi ero ideato,
Sono validi, non sono validi esistono quelle forme bilineari? Io non ho davvero capito l'utente precedente cosa voleva dirmi . ZMa voglio altrettanto uscire da questi dubbi.
sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
Questo esempio è giusto? Ero in dubbio (e forse avevo spiegato male questo) perché il professore aveva scritto su un esercizio che in generale nelle forme bilineari simmetriche generiche (quindi non definite positive come il prodotto scalare) $W⊕W^⊥!=W$, mentre a me in questo controesempio non è che risultasse diverso, proprio non aveva senso perché non era nemmeno una somma diretta.
Quindi almeno questo esempio che mi ero fatto è giusto? però non mi convicne una cosa, quella forma bilineare per come l'ho definita esiste? Perché megas_archeon mi pareva intendere di no.
Detto ciò sempre rimanendo sugli esercizietti che mi ero ideato,
1) assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
Stessa cosa prendendo il vettore $veci+vecj$ (ed esempio, così da non prendere proprio il degenere come prima) phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio e sia phi in modo che i,j, k siano ortogonali; se scegliessi $W={j}$, allora $(W)^⊥$ non sarebbe altro che ${i+j}$ unito al piano formato dalla combinazione lineare di $i$ e $k$ e di nuovo se faccio $((W)^⊥)^⊥=W$
perché questi due esempietti semplici non tornano? Non capisco se sia perché un phi come da me indicato non esista oppure un phi del genere esiste ma semplicemente anche se degenere può funzionare la formuletta dell'ortogonale dell'ortogonale? Non capisco
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
Sono validi, non sono validi esistono quelle forme bilineari? Io non ho davvero capito l'utente precedente cosa voleva dirmi
. ZMa voglio altrettanto uscire da questi dubbi.
Il problema è che loro ti dicono "se A allora B" e tu rispondi "ma non è vero, ecco una lista di esempi in cui non vale A e tuttavia vale B". (A="non ci sono vettori isotropi", B="ogni sottospazio è in somma diretta col suo complementare"). Questo è logicamente sbagliato.
La negazione logica di "se A allora B" è "A e non B".
Se ti dicono che se piove devi portare l'ombrello, non ti stanno dicendo cosa succede quando non piove. Se non piove puoi non portare l'ombrello oppure portarlo lo stesso per proteggerti, che so, dal sole.
La negazione logica di "se A allora B" è "A e non B".
Se ti dicono che se piove devi portare l'ombrello, non ti stanno dicendo cosa succede quando non piove. Se non piove puoi non portare l'ombrello oppure portarlo lo stesso per proteggerti, che so, dal sole.
Ok mi sembra di aver capito, non sono in effetti controesempi e ho impropriamente pensato alla logica della proposizione implicazione. Ti ringrazio perché il tuo discorso mi ha permesso di capire una cosa piuttosto basilare su cui in effetti avevo fatto una brutta confusione nel mio post.
Però ora che questo mi è chiaro, sono comunque esempi che sebbene non siano utili a dimostrare alcunché mi incuriosice capire se hanno altri punti sbagliati o se tutto sommato possono esistere.
Riprendendo i due casi cioè 1) ortogonale dell'ortogonale e 2) somma diretta
e la lista che proponevo (risistemo le domande nel quote)
Di questi quattro quello che mi interesserebbe ora capire è se sono esempi validi (o vedi degli errori grossolani in quello che propongo?), non tanto come controesempi come inizialmente li avevo erroneamente pensati, infatti mi sembra chiaro ora che ci siano casi degeneri in cui può valere quella prima formula o casi in cui ci sono vettori isotropi e può valere la seconda formula, ma intendo proprio come spazi con una certa phi così definita, può esistere quella phi? e le proprietà che elenco sono corrette?
A me sembra di si, però il discorso di M_A mi pareva sottendere che non potesse esistere quella forma bilineare.
Ho corretto le domande nel quote dopo aver capito l'errore enorme che facevo.
Però ora che questo mi è chiaro, sono comunque esempi che sebbene non siano utili a dimostrare alcunché mi incuriosice capire se hanno altri punti sbagliati o se tutto sommato possono esistere.
Riprendendo i due casi cioè 1) ortogonale dell'ortogonale e 2) somma diretta
e la lista che proponevo (risistemo le domande nel quote)
"lacanzione":
1) assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$. E' corretto?
Stessa cosa prendendo il vettore $veci+vecj$ (ed esempio, così da non prendere proprio il degenere come prima) phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio e sia phi in modo che i,j, k siano ortogonali; se scegliessi $W={j}$, allora $(W)^⊥$ non sarebbe altro che ${i+j}$ unito al piano formato dalla combinazione lineare di $i$ e $k$ e di nuovo se faccio $((W)^⊥)^⊥=W$ Giusto?
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona qui.
Di questi quattro quello che mi interesserebbe ora capire è se sono esempi validi (o vedi degli errori grossolani in quello che propongo?), non tanto come controesempi come inizialmente li avevo erroneamente pensati, infatti mi sembra chiaro ora che ci siano casi degeneri in cui può valere quella prima formula o casi in cui ci sono vettori isotropi e può valere la seconda formula, ma intendo proprio come spazi con una certa phi così definita, può esistere quella phi? e le proprietà che elenco sono corrette?
A me sembra di si, però il discorso di M_A mi pareva sottendere che non potesse esistere quella forma bilineare.
Ho corretto le domande nel quote dopo aver capito l'errore enorme che facevo.
Per capire devi farti esempi. Per esempio prendi $phi$ definita da
\[ \phi((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2 \]
I vettori della base canonica sono $i,j,k$ (per esempio $i=(1,0,0)$). Studia i vettori isotropi, eccetera. Poi prendi un'altra forma e ripeti.
\[ \phi((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2 \]
I vettori della base canonica sono $i,j,k$ (per esempio $i=(1,0,0)$). Studia i vettori isotropi, eccetera. Poi prendi un'altra forma e ripeti.
Ok, certo, in effetti è quello che prima di aprire il thread avevo provato a fare ma con scarsissimi risultati perché non capisco bene come specializzarlo al mio caso, prendiamo gli esempi:
- prendiamo una $phi$ che ha i vettori $i,j,k$=$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Ecco questa non ho idea come renderla a livello della classica $ϕ((x1,y1,z1);(x2,y2,z2))$, perché da un lato se dico è come il prodotto scalare standard dovrebbe essere: $x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2$, però dall'altro lato questo prodotto sappiamo non avere isotropi, quindi come ci inserisco quell'isotropo? Mi viene quindi il sospetto non esista.
- in modo del tutto simile se come secondo esempio: assumo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che $i$ è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$.
Di nuovo euristicametne mi verrebbe da scrivere: $phi((x_1,y_1,z_1);(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2$
perché si comporta per molti vettori come esso, però dovrei trovare il modo di infilarci dentro l'essere degenere per via di $i$ ortogonale a tutti i vettori dello spazio (cioè come lo vorrei nel mio esempio). Quindi la risposta è duplice: o non posso scrivere una forma esplicita di questa phi e questo vuol dire che quindi non esiste, oppure se esiste non posso partire dalla semplice $x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2$ e modificarla all'uso, ma avrà una forma diversa ben più difficile e che onestamente non ho idea di come trovare.
- e terzo una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che prendo il vettore $veci+vecj$ phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio. Anche qui ravvedo lo stesso problema del precedente nel detemrinare la forma esplicita di $phi$
- prendiamo una $phi$ che ha i vettori $i,j,k$=$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Ecco questa non ho idea come renderla a livello della classica $ϕ((x1,y1,z1);(x2,y2,z2))$, perché da un lato se dico è come il prodotto scalare standard dovrebbe essere: $x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2$, però dall'altro lato questo prodotto sappiamo non avere isotropi, quindi come ci inserisco quell'isotropo? Mi viene quindi il sospetto non esista.
- in modo del tutto simile se come secondo esempio: assumo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che $i$ è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$.
Di nuovo euristicametne mi verrebbe da scrivere: $phi((x_1,y_1,z_1);(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2$
perché si comporta per molti vettori come esso, però dovrei trovare il modo di infilarci dentro l'essere degenere per via di $i$ ortogonale a tutti i vettori dello spazio (cioè come lo vorrei nel mio esempio). Quindi la risposta è duplice: o non posso scrivere una forma esplicita di questa phi e questo vuol dire che quindi non esiste, oppure se esiste non posso partire dalla semplice $x_1y_2+x_2y_1+z_1z_2$ e modificarla all'uso, ma avrà una forma diversa ben più difficile e che onestamente non ho idea di come trovare.
- e terzo una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che prendo il vettore $veci+vecj$ phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio. Anche qui ravvedo lo stesso problema del precedente nel detemrinare la forma esplicita di $phi$
Allora prova con
\( \phi((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)) = y_1z_2+y_2z_1 \)
Con questa forma $i$ è ortogonale a tutti i vettori (cioè sta nel nucleo) e $j,k$ sono isotropi ma non stanno nel nucleo perché $phi(j,k)=1$.
\( \phi((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)) = y_1z_2+y_2z_1 \)
Con questa forma $i$ è ortogonale a tutti i vettori (cioè sta nel nucleo) e $j,k$ sono isotropi ma non stanno nel nucleo perché $phi(j,k)=1$.
Questo tue esempio è sicuramente un esempio ma il mio discorso era in un certo qual modo l'opposto. Devo aver fatto capire male il quesito e mi scuso.
Mettiamola come esercizio:
si trovi l'espressione esplicita di una $phi$ per i seguenti 3 casi distinti:
1) $phi$ che abbia $i,j,k$ ortogonali, non sia degenere e abbia $i$ isotropo
2) $phi$ mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani ortogonali tra loro, e che in aggiunta soddisfi la richiesta che $i$ è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$ (quindi degenere).
3) $phi$ mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani ortogonali tra loro, e che in aggiunta soddisfi la richiesta che $i+j$ è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$
La questione è quindi: esistono (tre phi distinte che soddisfino le richieste)? inoltre, come si ricava in modo "pratico" la forma esplicita avendo queste richieste?
Un esercizio del genere non saprei farlo ed è questa la mia lacuna. Era questo che andavo chiedendo.
Nota a margine: si intendono al solito: $i,j,k=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
Direi che il tuo esempio mi sembra soddisfare il 2. punto, però non capisco come lo hai trovato, cioè come ci si arrivi e così trovare anche gli altri due dei tre proposti.
Ti ringrazio molto se potrai aiutarmi ancora
Mettiamola come esercizio:
si trovi l'espressione esplicita di una $phi$ per i seguenti 3 casi distinti:
1) $phi$ che abbia $i,j,k$ ortogonali, non sia degenere e abbia $i$ isotropo
2) $phi$ mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani ortogonali tra loro, e che in aggiunta soddisfi la richiesta che $i$ è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$ (quindi degenere).
3) $phi$ mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani ortogonali tra loro, e che in aggiunta soddisfi la richiesta che $i+j$ è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$
La questione è quindi: esistono (tre phi distinte che soddisfino le richieste)? inoltre, come si ricava in modo "pratico" la forma esplicita avendo queste richieste?
Un esercizio del genere non saprei farlo ed è questa la mia lacuna. Era questo che andavo chiedendo.
Nota a margine: si intendono al solito: $i,j,k=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
Direi che il tuo esempio mi sembra soddisfare il 2. punto, però non capisco come lo hai trovato, cioè come ci si arrivi e così trovare anche gli altri due dei tre proposti.
Ti ringrazio molto se potrai aiutarmi ancora
Risposta al punto 1: non esiste, perché se $i$ è isotropo e ortogonale a $j,k$ allora è ortogonale a tutti i vettori, cioè sta nel nucleo e la forma è degenere.
Risposta ai punti 2 e 3: che ne dici della forma nulla? Cioè $phi(u,v)=0$ per ogni $u,v$.
Comunque non ti sto a fare tutti gli esempi, ma ti dico come costruire una forma bilineare in generale. Prendi una matrice simmetrica A di dimensione 3x3 qualsiasi. La regola
$phi(u,v)=u^t A v$
(vettore riga x matrice x vettore colonna, il risultato è uno scalare) definisce una forma bilineare simmetrica su $RR^3$ e ogni forma bilineare simmetrica è di questo tipo. Inoltre un vettore $v$ è ortogonale a tutti i vettori se e solo se $Av=0$. Quindi la forma è non degenere se e solo se $det(A) ne 0$. Con queste informazioni dovresti riuscire a costruire tutti gli esempi che vuoi.
Risposta ai punti 2 e 3: che ne dici della forma nulla? Cioè $phi(u,v)=0$ per ogni $u,v$.
Comunque non ti sto a fare tutti gli esempi, ma ti dico come costruire una forma bilineare in generale. Prendi una matrice simmetrica A di dimensione 3x3 qualsiasi. La regola
$phi(u,v)=u^t A v$
(vettore riga x matrice x vettore colonna, il risultato è uno scalare) definisce una forma bilineare simmetrica su $RR^3$ e ogni forma bilineare simmetrica è di questo tipo. Inoltre un vettore $v$ è ortogonale a tutti i vettori se e solo se $Av=0$. Quindi la forma è non degenere se e solo se $det(A) ne 0$. Con queste informazioni dovresti riuscire a costruire tutti gli esempi che vuoi.
Ovviamente non era mia intenzione farti perdere ore a fare mille esempi, è sicuramente molto più utile capire come trovare un metodo per risalire dalle richieste alla formula esplicita, come mi stai insegnando tu infatti.
Però, forse (anzi sicuro) ho capito male io, ma mi semrba che il metodo che proponi mi permetta di trovare delle forme esplicite, però non capisco come inserirci delle richieste specifiche sui vettori.
1) Ossia se avessi ad esempio la richiesta su $i+j$ che lo voglio come nel caso 3, come inserisco questa richiesta in $ϕ(u,v)=u^tAv$ per ottenere l'esplicita? Mi sembra che devo già conoscere A.
Come nel nostro esempio se voglio $(i+j)$ ortogonale a tutti i vettori dello spazio ho capito che devo imporre $A(i+j)=0$ ossia $A(1,1,0)=0$ ma non capisco bene cosa ottengo avendo 3x3 incognite, non mi sembra di arrivare ad alcuna forma esplicita per $u^tAv$.
2) Allo stesso modo se richiedessi $(i+j)=(1,0,0)$ come isotropo, come inserisco questa richiesta per trovare la forma bilineare all'atto pratico?
Ti chiedo poi scusa per le domande sempliciotte ma sono argomenti molto freschi e cerco di fissarli al meglio facendomi molte domande.
Però, forse (anzi sicuro) ho capito male io, ma mi semrba che il metodo che proponi mi permetta di trovare delle forme esplicite, però non capisco come inserirci delle richieste specifiche sui vettori.
1) Ossia se avessi ad esempio la richiesta su $i+j$ che lo voglio come nel caso 3, come inserisco questa richiesta in $ϕ(u,v)=u^tAv$ per ottenere l'esplicita? Mi sembra che devo già conoscere A.
Come nel nostro esempio se voglio $(i+j)$ ortogonale a tutti i vettori dello spazio ho capito che devo imporre $A(i+j)=0$ ossia $A(1,1,0)=0$ ma non capisco bene cosa ottengo avendo 3x3 incognite, non mi sembra di arrivare ad alcuna forma esplicita per $u^tAv$.
2) Allo stesso modo se richiedessi $(i+j)=(1,0,0)$ come isotropo, come inserisco questa richiesta per trovare la forma bilineare all'atto pratico?
Ti chiedo poi scusa per le domande sempliciotte ma sono argomenti molto freschi e cerco di fissarli al meglio facendomi molte domande.
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